Question

已知：如圖，把矩形OCBA放置于直角坐標系中，OC=3，BC=2，取AB的中點M，連接MC，把△MBC沿x軸的負方向平移OC的長度后得到△DAO．
（1）試直接寫出點D的坐標；
（2）已知點B與點D在經過原點的拋物線上，點P在第一象限內的該拋物線上移動，過點P作PQ⊥x軸于點Q，連接OP．若以O、P、Q為頂點的三角形與△DAO相似，試求出點P的坐標；
（3）試問在（2）拋物線的對稱軸上是否存在一點T，使得
|TO-TB|的值最大？若存在，則求出點T點的坐標；若不存在，則說明理由．

Answer 1

（1）∵OC=3，BC=2，取AB的中點M，連接MC，把△MBC沿x軸的負方向平移OC的長度后得到△DAO．
∴D點的坐標為（-1.5，2）；

（2）根據(jù)D點的坐標為（-1.5，2）；B點的坐標為（3，2），
以及圖象過（0，0），
∴代入二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax ²+bx+c，
∴

2= 9 4 a- 3 2 b+c 2=9a+3b+c c=0

，
解得：

a= 4 9 b=- 2 3 c=0

，
∴二次函數(shù)解析式為：y=

4

9

x ²-

2

3

x，
假設P點的橫坐標為x，縱坐標為：

4

9

x ²-

2

3

x，
∴當△DAO∽△PQO，
∴

DA

PQ

=

AO

OQ

，
∴

3 2

4 9 x2- 2 3 x

=

2

x

，
解得：x=0（不合題意舍去）或x=

51

16

，
當x=

51

16

時，y=

4

9

x ²-

2

3

x=

153

64

，
∴P點的坐標為：（

51

16

，

153

64

），
當△DAO∽△OQP，
∴

DA

OQ

=

AO

PQ

，
∴

3 2

x

=

2

4 9 x2- 2 3 x

，
解得：x=0（不合題意舍去）或x=4.5，
當x=4.5時，y=

4

9

x ²-

2

3

x=6，
∴P點的坐標為：（4.5，6），
故P點的坐標為：（4.5，6）或（

51

16

，

153

64

）；

（3）因為TD=TB，所以求|TO-TB|的值最大轉化為求|TO-TD|的最大值，
T、D、O組成三角形，根據(jù)兩邊之差小于第3邊，即|TO-TD|＜OD，
只有T、D、O在同一條直線上的時候，才能取得最大值，最大值為OD的長度，
因此延長DO，與對稱軸的交點即為所求之T點，
將D（-1.5，2），O（0，0）代入y=kx+b，
k=-

4

3

，
y=-

4

3

x，
∴x=

3

4

，
y=-1，
即T點的坐標為（

3

4

，-1），
故使得|TO-TB|的值最大T點的坐標為（

3

4

，-1）．