Question

如圖在Rt△AOB中，∠BAO=90°，O為坐標原點，B在x軸正半軸上，A在第一象限，OA和AB的長是方程x2-3

5

x+10=0兩根，且OA＜AB．
（1）求直線AB的解析式；
（2）將△AOB沿垂直于x軸的線段CD折疊（點C在x軸上，且不與點B重合，點D在線段AB上），使點B落在x軸上，對應點為E，是否存在這樣的點C，使得△AED為直角三角形？若存在，求出點C的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）由OA和AB的長是方程x²-3

5

+10=0的兩根，且OA＜AB，解此方程即可求得OA與AB的長，然后由勾股定理求得OB的長，則可求得點B的坐標；然后作AF⊥x軸于F，由直角三角形的性質，即可求得AF的長，繼而由勾股定理求得OF的長，即可求點A的坐標，然后由待定系數(shù)法求得直線AB的解析式；
（2）分別從�。┊擱t△AED以點A為直角頂點時，點E與原點O重合與ⅱ）當Rt△AED以點E為直角頂點時去分析求解即可求得答案．

解答：解：（1）∵x²-3

5

+10=0，
即（x-

5

）（x-2

5

）=0，
∴x₁=

5

，x₂=2

5

，
∵OA和AB的長是方程x²-3

5

+10=0的兩根，且OA＜AB，
∴OA=

5

，AB=2

5

，
∵∠BAO=90°，
∴OB=

( 5 )2+(2 5 )2

=5，
作AF⊥x軸于F，如圖①：
則AF=

OA•AB

OB

=

5 •2 5

5

=2，
∴OF=

OA2-AF2

=

( 5 )2-22

=1，
∴A（1，2），B（5，0），
設直線AB的解析式為y=kx+b，
則有

k+b=2 5k+b=0

，
解得

k=- 1 2 b= 5 2

，
∴直線AB的解析式為：y=-

1

2

x+

5

2

；

（2）存在．
分兩種情況討論：
�。┊擱t△AED以點A為直角頂點時，點E與原點O重合，如圖②．
∵OC=BC=

1

2

OB=

5

2

，
∴C₁（

5

2

，0）；
ⅱ）當Rt△AED以點E為直角頂點時，如圖③，過點A作AF⊥x軸于F．
則OF=1．
∵∠AED=90°，
∴∠AEO+∠DEC=90°．
∵∠DEC=∠DBC，
∴∠AEO+∠DBC=90°．
又∵∠AOE+∠DBC=90°，
∴∠AOE=∠AEO．
∴△AOE是等腰三角形，
∴OE=2OF=2，
∴BE=3．
∴EC=

3

2

，
∴OC=OE+EC=2+

3

2

=

7

2

．
∴C₂（

7

2

，0）．
綜上所述，存在這樣的點C，使得△AED為直角三角形，點C的坐標為：C₁（

3

2

，0）和C₂（

7

2

，0）．

點評：此題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式、直角三角形的性質、等腰三角形的判定與性質以及一元二次方程的解法．此題難度較大，注意掌握方程思想、分類討論思想與數(shù)形結合思想的應用．