Question

如圖：在正方形ABCD中，∠EAF=∠EAB，點(diǎn)F在CD邊上，∠AEF=90度，連接AE、AF、EF，
（1）求證：△ECF∽△ABE；
（2）求證：E為BC中點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）先根據(jù)等角的余角相等得到∠BAE=∠FEC，然后根據(jù)有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似得到△ECF∽△ABE；
（2）延長(zhǎng)FE、AB交于點(diǎn)G，由于A(yíng)E⊥GF，∠EAF=∠EAB，則可判斷△AGF為等腰三角形，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得EG=EF，然后根據(jù)“AAS”證明△GBE≌△FCE，則BE=CE．

解答：證明：（1）∵∠AEF=90度，
∴∠AEB+∠FEC=90°，
而∠AEB+∠EAB=90°，
∴∠BAE=∠FEC，
∴△ECF∽△ABE；

（2）延長(zhǎng)FE、AB交于點(diǎn)G，如圖，
∵∠AEF=90度，
∴AE⊥GF，
∵∠EAF=∠EAB，
∴△AGF為等腰三角形，
∴EG=EF，
在△GBE和△FCE中

∠GBE=∠C ∠BEG=∠CEF EG=∠EF

，
∴△GBE≌△FCE（AAS），
∴BE=CE，
即E為BC中點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：有兩組角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等．也考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)以及正方形的性質(zhì)．