Question

在平面直角坐標系里，如圖，已知直線：交y軸于點A，交x軸于點B，三角板OCD如圖1置，其中∠D=30°，∠OCD=90°，OD=7，把三角板OCD繞點．順時針旋轉(zhuǎn)15°，得到△OC₁D₁（如圖2），這時OC₁交AB于點E，C₁D₁交AB于點F．
（1）求∠EFC₁的度數(shù)；
（2）求線段AD₁的長；
（3）若把△OC₁D₁，繞點0順時針再旋轉(zhuǎn)30．得到△OC₂D₂，這時點B在△OC₂D₂的內(nèi)部、外部、還是邊上？證明你的判斷．

Answer 1

解：（1）∵AO=BO=3，
∴∠OAB=45°
∵∠AOE=45°，
∴∠AEO=∠AED₁=∠D₁EF=90°，∠ED₁F=30°，∴∠EFC₁=120°．

（2）∵∠AOE=∠OAE=45°，OA=3，
∴AE=OE=3，D₁E=4，
∴在Rt△AED₁中，AD₁=5．

（3）點B在△OC₂D₂內(nèi)部；

設(shè)D₂C₂交x軸于點G，
∵∠C₂OG=45°，∠C₂=90°，
∴∠C₂GO=45°，
∴C₂O=C₂G=OD₂=3.5，
∴OG=，
∵OB=3＜，
∴點B在△OC₂D₂內(nèi)部．
分析：（1）由直線AB的解析式可知，∠OAB=45°，圖（1）中，∠AOD=30°，由旋轉(zhuǎn)15°可知，圖（2）中∠AOE=45°，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得∠AEO=90°，根據(jù)∠EFC₁=∠D₁+∠D₁EF=∠D₁+∠AEO，求解；
（2）由（1）可知，△AEO為等腰直角三角形，而AO=3，可求OE=AE=3，故D₁E=0D₁-OE=4，在Rt△AED₁中，利用勾股定理求AD₁；
（3）再旋轉(zhuǎn)30°，則∠C₂OG=45°，由OD₂=OD=7，∠D₂=30°，可求OC₂=3.5；在△OC₂G中，求OG并與OB進行比較即可．
點評：本題考查了直角坐標系中旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，需要根據(jù)旋轉(zhuǎn)的角度，直角三角形的特殊性，解直角三角形．