Question

如圖，直線PQ與⊙O相交于點A、B，BC是⊙O的直徑，BD平分∠CBQ交⊙O于點D，過點D作DE⊥PQ，垂足為E．

（1）求證：DE與⊙O相切；

（2）連結(jié)AD，己知BC=10，BE=2，求sin∠BAD的值．

Answer 1

（1）證明：連結(jié)OD，如圖，

∵BD平分∠CBQ交⊙O于點D，

∴∠CBD=∠QBD，

∵OB=OD，

∴∠OBD=∠ODB，

∴∠ODB=∠QBD，

∴OD∥BQ，

∵DE⊥PQ，

∴OD⊥DE，

∴DE與⊙O相切；

（2）【解析】
∵BC是⊙O的直徑，

∴∠BDC=90°，

∵DE⊥AB，

∴∠BED=90°，

∵∠CBD=∠QBD，

∴Rt△BCD∽△BDE，

∴，即，

∴BD=，

在Rt△BCD中，sin∠C=，

∵∠BAD=∠C，

∴sin∠BAD=．

【解析】

試題分析：（1）連結(jié)OD，利用角平分線的定義得∠CBD=∠QBD，而∠OBD=∠ODB，則∠ODB=∠QBD，于是可判斷OD∥BQ，由于DE⊥PQ，根據(jù)平行線的性質(zhì)得OD⊥DE，則可根據(jù)切線的判定定理得到DE與⊙O相切；

（2）連結(jié)CD，根據(jù)圓周角定理由BC是⊙O的直徑得到∠BDC=90°，再證明Rt△BCD∽△BDE，利用相似比可計算出BD=，在Rt△BCD中，根據(jù)正弦的定義得到sin∠C=，然后根據(jù)圓周角定理得∠BAD=∠C，即有sin∠BAD=

考點：切線的判定；銳角三角函數(shù)的定義