Question

已知：如圖，AC是⊙O的直徑，AB是弦，MN是過(guò)點(diǎn)A的直線，AB等于半徑長(zhǎng)．
（1）若∠BAC=2∠BAN，求證：MN是⊙O的切線．
（2）在（1）成立的條件下，當(dāng)點(diǎn)E是

AB

的中點(diǎn)時(shí)，在AN上截取AD=AB，連接BD、BE、DE，求證：△BED是等邊三角形．

Answer 1

分析：（1）連接OB．由AC是⊙O的直徑，AB是弦且等于半徑長(zhǎng)，易證△AOB為等邊三角形，得到∠BAC=2∠BAN=60°，得∠BAN=30°，所以∠CAN=∠BAC+∠BAN=90°；
（2）連接AE，由E是弧AB的中點(diǎn)，根據(jù)弧相等所對(duì)的圓心角相等和弧的度數(shù)與它所對(duì)圓心角的度數(shù)的關(guān)系得到∠BAE=∠ABE=15°，則∠DAE=15°，易證△ABE≌△ADE．則BE=DE，∠EDA=∠ABE=15°，得到∠BDE=∠EBD=（180°-30°-30°）÷2=60°，即可判斷△BED是等邊三角形．

解答：證明：（1）連接OB．如圖，
∵AC是⊙O的直徑，AB是弦且等于半徑長(zhǎng)，
∴OA=OB=AB，
∴△AOB為等邊三角形，
∴∠OAB=60°，
∵∠BAC=2∠BAN=60°，
∴∠BAN=30°，
∴∠CAN=∠BAC+∠BAN=90°，
即AC⊥MN，
所以MN是⊙O的切線；

（2）連接AE，OE，如圖，
∵E是弧AB的中點(diǎn)，
∴∠BAE=∠ABE=15°，
∴∠DAE=15°，
易證△ABE≌△ADE．
∴BE=DE，∠EDA=∠ABE=15°．
∴∠BDE=∠EBD=（180°-30°-30°）÷2=60°．
∴△BDE是等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定與性質(zhì)：過(guò)半徑的外端點(diǎn)與半徑垂直的直線是圓的切線；圓的切線垂直于過(guò)切點(diǎn)的半徑．也考查了圓周角定理的推論以及三角形全等的判定與性質(zhì)．