Question

在四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，設(shè)銳角∠DOC=α，將△DOC按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△D′OC′（0°＜旋轉(zhuǎn)角＜90°）連接AC′、BD′，AC′與BD′相交于點M．
（1）當四邊形ABCD是矩形時，如圖1，請猜想AC′與BD′的數(shù)量關(guān)系以及∠AMB與α的大小關(guān)系，并證明你的猜想；
（2）當四邊形ABCD是平行四邊形時，如圖2，已知AC=kBD，請猜想此時AC′與BD′的數(shù)量關(guān)系以及∠AMB與α的大小關(guān)系，并證明你的猜想；
（3）當四邊形ABCD是等腰梯形時，如圖3，AD∥BC，此時（1）AC′與BD′的數(shù)量關(guān)系是否成立？∠AMB與α的大小關(guān)系是否成立？不必證明，直接寫出結(jié)論．

Answer 1

解：（1）AC′=BD′，∠AMB=α，
證明：在矩形ABCD中，AC=BD，OA=OC=AC，OB=OD=BD，
∴OA=OC=OB=OD，
又∵OD=OD′，OC=OC′，
∴OB=OD′=OA=OC′，
∵∠D′OD=∠C′OC，
∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC，
∴∠BOD′=∠AOC′，
∴△BOD′≌△AOC′，
∴BD′=AC′，
∴∠OBD′=∠OAC′，
設(shè)BD^′與OA相交于點N，
∴∠BNO=∠ANM，
∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO，
即∠AMB=∠AOB=∠COD=α，
綜上所述，BD′=AC′，∠AMB=α，

（2）AC′=kBD′，∠AMB=α，
證明：∵在平行四邊形ABCD中，OB=OD，OA=OC，
又∵OD=OD′，OC=OC′，
∴OC'=OA，OD′=OB，
∵∠D′OD=∠C′OC，
∴180°-∠D′OD=180°-∠C′OC，
∴∠BOD′=∠AOC′，
∴△BOD′∽△AOC′，
∴BD′：AC′=OB：OA=BD：AC，
∵AC=kBD，
∴AC′=kBD′，
∵△BOD′∽△AOC′，
設(shè)BD′與OA相交于點N，
∴∠BNO=∠ANM，
∴180°-∠OAC′-∠ANM=180°-∠OBD′-∠BNO，即∠AMB=∠AOB=α，
綜上所述，AC′=kBD′，∠AMB=α，

（3）AC′=BD′成立，∠AMB=α不成立．
分析：（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)及角之間的關(guān)系證明△BOD′≌△AOC′，得出對應(yīng)邊對應(yīng)角相等，推理即可得出結(jié)論；
（2）先進行假設(shè)，然后根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形比例關(guān)系即可得出答案；
（3）易證△BOD′≌△C′OA，則AC′=BD′，∠OBD′=∠OC′A≠∠OAC′，從而得出∠AMB≠α．
點評：本題主要考查了矩形、平行四邊形的性質(zhì)，全等三角形的判定及性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)以及角之間的關(guān)系，綜合性強，難度較大．