Question

如圖，矩形OABC中，A（6，0）、C（0，2）、D（0，3），射線l過(guò)點(diǎn)D且與x軸平行，點(diǎn)P、Q分別是l和x軸正半軸上動(dòng)點(diǎn)，滿足∠PQO=60°．

（1）①點(diǎn)B的坐標(biāo)是______；②∠CAO=______度；③當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_(kāi)_____；（直接寫(xiě)出答案）
（2）設(shè)OA的中心為N，PQ與線段AC相交于點(diǎn)M，是否存在點(diǎn)P，使△AMN為等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
（3）設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，△OPQ與矩形OABC的重疊部分的面積為S，試求S與x的函數(shù)關(guān)系式和相應(yīng)的自變量x的取值范圍．

Answer 1

解：（1）①∵四邊形OABC是矩形，
∴AB=OC，OA=BC，
∵A（6，0）、C（0，2），
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為：（6，2）；

②∵tan∠CAO===，
∴∠CAO=30°；

③如下圖：當(dāng)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于E，
∵∠PQO=60°，D（0，3），
∴PE=3，
∴AE==3，
∴OE=OA-AE=6-3=3，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3，3）；

故答案為：①（6，2），②30，③（3，3）；


（2）情況①：MN=AN=3，
則∠AMN=∠MAN=30°，
∴∠MNO=60°，
∵∠PQO=60°，
即∠MQO=60°，
∴點(diǎn)N與Q重合，
∴點(diǎn)P與D重合，
∴此時(shí)m=0，

情況②，如圖AM=AN，作MJ⊥x軸、PI⊥x軸；
MJ=MQ•sin60°=AQ•sin60°=（OA-IQ-OI）•sin60°=（3-m）=AM=AN=，
可得（3-m）=，
解得：m=3-，

情況③AM=NM，此時(shí)M的橫坐標(biāo)是4.5，
過(guò)點(diǎn)P作PK⊥OA于K，過(guò)點(diǎn)M作MG⊥OA于G，
∴MG=，
∴QK===3，GQ==，
∴KG=3-0.5=2.5，AG=AN=1.5，
∴OK=2，
∴m=2，


（3）當(dāng)0≤x≤3時(shí)，
如圖，OI=x，IQ=PI•tan60°=3，OQ=OI+IQ=3+x；
由題意可知直線l∥BC∥OA，
可得，
EF=（3+x），
此時(shí)重疊部分是梯形，其面積為：
S_梯形=（EF+OQ）•OC=（3+x），

當(dāng)3＜x≤5時(shí)，S=S_梯形-S_△HAQ=S_梯形-AH•AQ=（3+x）-（x-3）²，

當(dāng)5＜x≤9時(shí)，
∵BC∥PD，
∴△OCE∽△OPD，
∴CE：PD=2：3，
∴CE=x，
∴BE=BC-CE=6-x，
∴S=（BE+OA）•OC=（12-x），

當(dāng)9＜x時(shí)，S=OA•AH=．

分析：（1）①由四邊形OABC是矩形，根據(jù)矩形的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo)；②由正切函數(shù)，即可求得∠CAO的度數(shù)，③由三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求得點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（2）分別從MN=AN，AM=AN與AM=MN去分析求解即可求得答案；
（3）分別從當(dāng)0≤x≤3時(shí)，當(dāng)3＜x≤5時(shí)，當(dāng)5＜x≤9時(shí)，當(dāng)x＞9時(shí)去分析求解即可求得答案．
點(diǎn)評(píng)：此題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性較強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．