Question

在矩形ABCD中，=a，點G，H分別在邊AB，DC上，且HA=HG，點E為AB邊上的一個動點，連接HE，把△AHE沿直線HE翻折得到△FHE．如圖1，當DH=DA時，（1）填空：∠HGA=　            　度；

（2）若EF∥HG，求∠AHE的度數(shù)，并求此時a的最小值；

Answer 1

 解：（1）45°；

（2）分兩種情況討論：

第一種情況，如圖1：∵∠HAG=∠HGA=45°；

∴∠AHG=90°，由折疊可知：∠HAE=∠F=45°，∠AHE=∠FHE，

∵EF∥HG，∴∠FHG=∠F=45°，

∴∠AHF=∠AHG﹣∠FHG=45°，

即∠AHE+∠FHE=45°，

∴∠AHE=22.5°

此時，當B與G重合時，a的值最小，最小值是2；-

第二種情況：如圖2

∵EF∥HG，

∴∠HGA=∠FEA=45°，

即∠AEH+∠FEH=45°，

由折疊可知：∠AEH=∠FEH，

∴∠AEH=∠FEH=22.5°，

∵EF∥HG，

∴∠GHE=∠FEH=22.5°，

∴∠AHE=90°+22.5°=112.5°，

此時，當B與E重合時，a的值最小，

設DH=DA=x，則AH=CH=x，

在Rt△AHG中，∠AHG=90°，由勾股定理得：

AG=AH=2x，

∵∠AEH=∠FEH，∠GHE=∠FEH，

∴∠AEH=∠GHE，

∴GH=GE=x，

∴AB=AE=2x+x，

∴a的最小值是=2+；