已知:△ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點F.
(1)如圖1,若△ABC為銳角三角形,且∠ABC=45°,過點F作FG∥BC,交直線AB于點G,求證:FG+DC=AD;
(2)如圖2,若∠ABC=135°,過點F作FG∥BC,交直線AB于點G,則FG、DC、AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系是______;
(3)在(2)的條件下,若AG=,DC=3,將一個45°角的頂點與點B重合并繞點B旋轉(zhuǎn),這個角的兩邊分別交線段FG于M、N兩點(如圖3),連接CF,線段CF分別與線段BM、線段BN相交于P、Q兩點,若NG=,求線段PQ的長.

【答案】分析:(1)首先證明∠CBE=∠DAC,∠AGF=∠BAD可推出FA=FG;
(2)與(1)證明方法同理;
(3)首先證明△FDC為等腰直角三角形,然后證明四邊形DFHB為矩形.根據(jù)三角函數(shù)的計算得出.
解答:證明:
(1)∵∠ADB=90°∠ABC=45°,
∴∠BAD=∠ABC=45°,
∴AD=BD
∵∠BEC=90°,
∴∠CBE+∠C=90°,
∵∠DAC+∠C=90°,
∴∠CBE=∠DAC,
∵GF∥BD,
∴∠AGF=∠ABC=45°,
∴∠AGF=∠BAD,
∴FA=FG,
∴FG+DC=FA+DF=AD;

解:(2)FG-DC=AD;

(3)如圖,
∵∠ABC=135°,
∴∠ABD=45°,
∵∠ADB=90°,
∴∠DAB=∠DBA=45°,
∴AD=BD,
∵FG∥BC,
∴∠G=∠DBA=∠DAB,
∴AF=FG
∴AG=5,F(xiàn)G2+AF2=AG2,
∴FG=AF=5
∵DC=3由(2)知FG-DC=AD,
∴AD=BD=2,BC=1,DF=3,
∴△FDC為等腰直角三角形
∴FC=
分別過B,N作BH⊥FG于點H,NK⊥BG于點K,
∴四邊形DFHB為矩形,
∴HF=BD=2  BH=DF=3,
∴BH=HG=3,
∴BG=
∵sin∠G=
∴NK=×=,
∴BK=
∵∠MBN=∠HBG=45°,
∴∠MBH=∠NBK,
∵∠MHB=∠NKB=90°,
∴△MBH∽△NBK
,
∴MH=1,
∴FM=1,
∵BC∥FG,
∴∠BCF=∠CFN,
∵∠BPC=∠MPF CB=FM,
∴△BPC≌△MPF,
∴PC=PF=FC=
∵∠BQC=∠NQF,
∴△BCQ∽△NFQ,
,
,
∴CQ=FC==,
∴PQ=CP-CQ=
點評:本題考查直角三角形的性質(zhì),矩形的性質(zhì),全等三角形的判定以及綜合分析、解答問題的能力,涉及到三角函數(shù)的計算,難度偏難.
練習(xí)冊系列答案
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23、已知:△ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點F.
(1)如圖1,若△ABC為銳角三角形,且∠ABC=45°,過點F作FG∥BC,交直線AB于點G,求證:FG+DC=AD;
(2)如圖2,若∠ABC=135°,過點F作FG∥BC,交直線AB于點G,則FG、DC、AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系是
FG=DC+AD
.(只寫答案)

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已知:△ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點F.
(1)如圖1,若△ABC為銳角三角形,且∠ABC=45°,過點F作FG∥BC,交直線AB于點G,求證:FG+DC=AD;
(2)如圖2,若∠ABC=135°,過點F作FG∥BC,交直線AB于點G,則FG、DC、AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系是
 
;
(3)在(2)的條件下,若AG=5
2
,DC=3,將一個45°角的頂點與點B重合并繞點B旋轉(zhuǎn),這個角的兩邊分別交線段FG于M、N兩點(如圖3),連接CF,線段CF分別與線段BM、線段BN相交于P、Q兩點,若NG=
3
2
,求線段PQ的長.
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27、已知:△ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點F,過點F作FG∥BC,交直線AB于點G.
(1)如圖1,若△ABC為銳角三角形,且∠ABC=45°.
求證:①△BDF≌△ADC;
②FG+DC=AD;
(2)如圖2,若∠ABC=135°,直接寫出FG、DC、AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系.

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已知:△ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點F。
(1)如圖(1),若△ABC為銳角三角形,且∠ABC=45°,過點F作FG∥BC,交AB于點G,求證:FG+DC=AD;
(2)如圖(2),若∠ABC=135°,過點F作FG∥BC,交AB的延長線于點G,則FG、DC、AD之間滿足的數(shù)量關(guān)系是____;
(3)在(2)的條件下,若,DC=3,將一個45°角的頂點與點B重合并繞點B旋轉(zhuǎn),這個角的兩邊分別交線段FG于M、N兩點(如圖(3)),連接CF,線段CF分別與線段BM、線段BN相交于P、Q兩點,若,求線段PQ的長。

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(2009•哈爾濱)已知:△ABC的高AD所在直線與高BE所在直線相交于點F.
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