Question

閱讀材料：求1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³的值．

解：設(shè)S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹²+2²⁰¹³，將等式兩邊同時(shí)乘以2得：

   2S=2+2²+2³+2⁴+2⁵+…+2²⁰¹³+2²⁰¹⁴

   將下式減去上式得2S﹣S=2²⁰¹⁴﹣1

   即S=2²⁰¹⁴﹣1

   即1+2+2²+2³+2⁴+…+2²⁰¹³=2²⁰¹⁴﹣1

請(qǐng)你仿照此法計(jì)算：

（1）1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰

（2）1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ（其中n為正整數(shù)）．

Answer 1

考點(diǎn)：

同底數(shù)冪的乘法．

專題：

計(jì)算題．

分析：

（1）設(shè)S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，兩邊乘以2后得到關(guān)系式，與已知等式相減，變形即可求出所求式子的值；

（2）同理即可得到所求式子的值．

解答：

解：（1）設(shè)S=1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰，

將等式兩邊同時(shí)乘以2得2S=2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰+2¹¹，

將下式減去上式得：2S﹣S=2¹¹﹣1，即S=2¹¹﹣1，

則1+2+2²+2³+2⁴+…+2¹⁰=2¹¹﹣1；

（2）設(shè)S=1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ，

兩邊乘以3得：3S=3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ+3ⁿ⁺¹，

下式減去上式得：3S﹣S=3ⁿ⁺¹﹣1，即S=（3ⁿ⁺¹﹣1），

則1+3+3²+3³+3⁴+…+3ⁿ=（3ⁿ⁺¹﹣1）．

點(diǎn)評(píng)：

此題考查了同底數(shù)冪的乘法，弄清題中的技巧是解本題的關(guān)鍵．