【題目】如圖,已知拋物線與y軸交于點(diǎn)C(0,3),與x軸交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊,且B(3,0),AB=2

(1)求該拋物線的函數(shù)關(guān)系式;

(2)如果拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)P,使得APC的周長(zhǎng)最小,求此時(shí)P點(diǎn)的坐標(biāo),并求出APC周長(zhǎng);

(3)設(shè)D為拋物線上一點(diǎn),E為對(duì)稱軸上一點(diǎn),若以點(diǎn)A、B、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,求點(diǎn)D的坐標(biāo).

【答案】(1) y=﹣4x+3 ;(2) 點(diǎn)P(2,1)時(shí),APC的周長(zhǎng)最小,最小值為(3) (0,3)或(4,3)或(2,﹣1).

【解析】

試題分析:(1)先求出點(diǎn)A的坐標(biāo),根據(jù)兩點(diǎn)式設(shè)出拋物線解析式,用待定系數(shù)法求出拋物線解析式;

(2)由點(diǎn)A,B關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱,所以連接BC與拋物線對(duì)稱軸的交點(diǎn)就是點(diǎn)P,根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式求出各線段,即可;

(3)AB為平行四邊形的邊時(shí),就有ABDE,AB=DE,設(shè)出點(diǎn)D坐標(biāo),表示出點(diǎn)E坐標(biāo),由AB=DE求出點(diǎn)D坐標(biāo)

AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),AB,DE互相平分,而點(diǎn)E在拋物線對(duì)稱軸上,得出點(diǎn)D也在拋物線對(duì)稱軸上,即點(diǎn)D就是拋物線的頂點(diǎn).

試題解析:(1)拋物線與x軸交于點(diǎn)A、B,點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊,且B(3,0),AB=2,

A(1,0),

設(shè)拋物線解析式為y=a(x﹣1)(x﹣3),

點(diǎn)C在拋物線上,

3=a×(﹣1)×(﹣3)=3a,

a=1,

拋物線解析式為y=(x﹣1)(x﹣3)=﹣4x+3,

(2)如圖1,

(1)有,拋物線解析式為y=(x﹣1)(x﹣3)=﹣4x+3,

拋物線的對(duì)稱軸為x=2,

連接BC,交對(duì)稱軸于點(diǎn)P,連接AP,

點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱,

點(diǎn)P就是使得APC的周長(zhǎng)最小時(shí),對(duì)稱軸上的點(diǎn),即:PA=PB,

B(3,0),C(0,3),

直線BC解析式為y=﹣x+3,BC=,

當(dāng)x=2時(shí),y=1,

P(2,1),

A(1,0),

AP=

∴△APC周長(zhǎng)=AC+AP+CP=AC+BC=+=,

即:點(diǎn)P(2,1)時(shí),APC的周長(zhǎng)最小,最小值為;

(3)以點(diǎn)A、B、D、E為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形,

分AB為對(duì)角線和邊兩種情況計(jì)算,

當(dāng)AB為平行四邊形的邊時(shí),ABDE,AB=DE,

點(diǎn)D在拋物線上,

設(shè)點(diǎn)D(m,﹣4m+3),

點(diǎn)E在拋物線對(duì)稱軸x=2上,

點(diǎn)E(2,﹣4m+3),

DEAB,

DE=|m﹣2|,

AB=DE,AB=2,

|m﹣2|=2,

m=0,或m=4,

D(0,3)或(4,3),

當(dāng)AB為平行四邊形的對(duì)角線時(shí),AB與DE互相平分,

點(diǎn)E在拋物線對(duì)稱軸上,

點(diǎn)D也在拋物線的對(duì)稱軸上,

即:點(diǎn)D就是拋物線的頂點(diǎn),

由(1)得,拋物線解析式為y=(x﹣1)(x﹣3),

拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,﹣1),

滿足條件的點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,3)或(4,3)或(2,﹣1).

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