Question

已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB上的點(diǎn)O為圓心，OB的長(zhǎng)為半徑的圓與AB交于點(diǎn)E，與AC切于點(diǎn)D．
（1）求證：BC=CD；
（2）求證：∠ADE=∠ABD；
（3）設(shè)AD=2，AE=1，求⊙O直徑的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】分析：（1）由切線(xiàn)長(zhǎng)定理，只需證明CB為⊙O的切線(xiàn)，再由已知的OB與AC切于點(diǎn)D，即可得出證明；
（2）根據(jù)已知及等角的余角相等不難求得結(jié)論．
（3）易得：△ADE∽△ABD，進(jìn)而可得=；代入數(shù)據(jù)計(jì)算可得BE=3；即⊙O直徑的長(zhǎng)為3．
解答：（1）證明：∵∠ABC=90°，
∴OB⊥BC．（1分）
∵OB是⊙O的半徑，
∴CB為⊙O的切線(xiàn)．（2分）
又∵CD切⊙O于點(diǎn)D，
∴BC=CD．（3分）

（2）證明：∵BE是⊙O的直徑，
∴∠BDE=90°．
∴∠ADE+∠CDB=90°．（4分）
又∵∠ABC=90°，
∴∠ABD+∠CBD=90°．（5分）
由（1）得BC=CD，
∴∠CDB=∠CBD．
∴∠ADE=∠ABD．（6分）

（3）解：由（2）得，∠ADE=∠ABD，∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABD．（7分）
∴=．（8分）
∴=．
∴BE=3．（9分）
∴所求⊙O的直徑長(zhǎng)為3．（10分）
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查圓的切線(xiàn)的判定及圓周角定理的運(yùn)用和相似三角形的判定和性質(zhì)的運(yùn)用．