Question

如圖，在△ABC中，已知AD⊥BC，BE⊥AC，AD與BE相交于點(diǎn)H，P為邊AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作CQ⊥PH，垂足為Q，求證：PE²=PH•PQ．

Answer 1

證明：連接CH并延長交AB于K，連接EQ，
∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴H是△ABC的垂心，
∴CK⊥AB，
∵∠CEH=∠BKH，∠EHC=∠KHB，
∴∠3=∠4，
∵∠AEB=Rt∠，P是AB的中點(diǎn)，
∴EP=BP，∴∠1=∠4，
∴∠1=∠3，
∵∠CQH=∠CEH=Rt∠，
∴C、H、E、Q四點(diǎn)共圓，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∵∠EPH=∠QPE，
∴△EPH∽△QPE，
∴，
∴PE²=PH•PQ．
分析：首先利用連接CH并延長交AB于K，連接EQ，得出∠CQH=∠CEH=Rt∠，進(jìn)而得出C、H、E、Q四點(diǎn)共圓，即可得出△EPH∽△QPE，得出PE²=PH•PQ．
點(diǎn)評：此題主要考查了四點(diǎn)共圓的性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)已知得出C、H、E、Q四點(diǎn)共圓是解題關(guān)鍵．