Question

如圖，△ABC是等邊三角形，AO⊥BC，垂足為點O，⊙O與AC相切于點D，BE⊥AB交AC的延長線于點E，與⊙O相交于G、F兩點．

（1）求證：AB與⊙O相切；

（2）若等邊三角形ABC的邊長是4，求線段BF的長？

Answer 1

       解：（1）過點O作OM⊥AB，垂足是M．

∵⊙O與AC相切于點D．

∴OD⊥AC，

∴∠ADO=∠AMO=90°．

∵△ABC是等邊三角形，

∴∠DAO=∠NAO，

∴OM=OD．

∴AB與⊙O相切；

（2）過點O作ON⊥BE，垂足是N，連接OF．

∵O是BC的中點，

∴OB=2．

在直角△OBM中，∠MBO=60du6，

∴OM=OB•sin60°=，BM=OB•cos60°=1．

∵BE⊥AB，

∴四邊形OMBN是矩形．

∴ON=BM=1，BN=OM=．

∵OF=OM=，

由勾股定理得NF=．

∴BF=BN+NF=+．