操作:如圖,在正方形ABCD中,P是CD上一動點(diǎn)(與C、D不重合),使三角板的直角頂點(diǎn)與點(diǎn)P重合,并且一條直角邊始終經(jīng)過點(diǎn)B,另一直角邊與正方形的某一邊所在直線交于點(diǎn)E.

探究:①觀察操作結(jié)果,哪一個三角形與△BPC相似,寫出你的結(jié)論,(找出兩對即可);并選擇其中一組說明理由;

②當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時,直接寫出① 中找到的兩對相似三角形的相似比和面積比.

 

【答案】

分兩種情況:

①如圖(1),

∵∠BPE=90°,

∴∠BPC+∠DPE=90°,又∠BPC+∠PBC=90°,

∴∠PBC=∠DPE,又∠C=∠D=90°,

∴△BPC∽△PED.

如圖(2),同理可證△BPC∽△BEP∽△PCE.

②如圖(1),∵△BPC∽△PED,

∴△PED與△BPC的周長比等于對應(yīng)邊的比,即PD與BC的比,

∵點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn),

∴PD與BC的比為1:2,

∴△PED與△BPC的周長比1:2,

△PED與△BPC的面積比1:4

如圖(2),∵△BPC∽△BEP,

∴△BEP與△BPC的周長比等于對應(yīng)邊的比,即BP與BC的比,

∵點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn),

設(shè)BC=2k,則PC=k,BP=k,

∴BP與BC的比為:2,

△BEP與△BPC的周長比為:2,△BEP與△BPC的面積比為5:4.

同理:△PCE∽△BPC,周長比1:2,面積比1:4.

【解析】由于本題直角三角形的擺放方法沒有確定,因此要分兩種情況進(jìn)行討論:

①直角三角形的斜邊與AD相交;(如圖1)

②直角三角形的斜邊與BC邊在同一條直線上(如圖2);解題思路一致.

以①為例說明:△DEP和△BCP中,∠DEP和∠BPC同為∠DPE的余角,因此這兩角相等,易證得兩三角形相似.當(dāng)P為CD中點(diǎn)時,PD=CP,可根據(jù)相似三角形得出的比例關(guān)系式求出DE和BC的表達(dá)式,進(jìn)一步可求得兩三角形的相似比和面積比.

 

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探究:①觀察操作結(jié)果,哪一個三角形與△BPC相似,寫出你的結(jié)論,并說明理由;
②當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時,你找到的三角形與△BPC的周長比和面積比分別是多少?

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探究:①觀察操作結(jié)果,哪一個三角形與△BPC相似,寫出你的結(jié)論,(找出兩對即可);并選擇其中一組說明理由;
②當(dāng)點(diǎn)P位于CD的中點(diǎn)時,直接寫出① 中找到的兩對相似三角形的相似比和面積比.

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探究:①觀察操作結(jié)果,哪一個三角形與△BPC相似,寫出你的結(jié)論,并說明理由;
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