Question

如圖，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線OA與雙曲線y=

m

x

在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A的直線y=kx+b與x軸正半軸交于點(diǎn)B，與雙曲線的另一交點(diǎn)為C，連結(jié)OC．若OA=OB=5，tan∠AOB=

3

4

．
（1）求雙曲線和直線AB的解析式；
（2）求△AOC的面積．
（3）在第一象限內(nèi)，根據(jù)圖象寫(xiě)出使一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點(diǎn)問(wèn)題

專(zhuān)題：

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義求得A的坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求得直線AB的解析式，把A的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)解析式求得m的值；
（2）求得直線與y軸的交點(diǎn)E，根據(jù)S_△AOC=S_△AOE+S_△OEC即可求解；
（3）一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值即一次函數(shù)的圖象在反比例函數(shù)的圖象的上邊，寫(xiě)出自變量x的取值范圍即可．

解答：解：（1）作AD⊥x軸于點(diǎn)D．
∵在直角△AOD中，tanB=

AD

OD

=

3

4

，
設(shè)AD=3a，則OD=4a，
∴OA=5a=5，
解得：a=5，
則AD=3a=3，OD=4a=4，即A的坐標(biāo)是（4，3）．
把（4，3）代入y=

m

x

，解得：m=12，
則反比例函數(shù)的解析式是：y=

12

x

；
∵OB=5，
∴B的坐標(biāo)是（5，0）．
根據(jù)題意得：

4k+b=3 5k+b=0

，
解得：

k=-3 b=15

，
則直線的解析式是：y=-3x+15；
（2）在y=-3x+15中，令x=0，解得y=15，
則直線與y軸的交點(diǎn)E坐標(biāo)是（0，15）．
解方程組

y=-3x+15 y= 12 x

，
解得：

x=4 y=3

或

x=1 y=12

，
則C的坐標(biāo)是（1，12）．
則S_△AOE=

1

2

×15×4=30，S_△OEC=

1

2

×15×1=

15

2

．
則S_△AOC=S_△AOE+S_△OEC=30+

15

2

=

45

2

；
（3）一次函數(shù)的值大于反比例函數(shù)的值的x的取值范圍是：1＜x＜4．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的解析式．這里體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想．