Question

如圖1，∠BAC=60°，半徑長1的⊙O與∠BAC的兩邊相切，P為⊙O上一動點，以P為圓心，PA長為半徑的⊙P交射線AC、AB于D、E兩點，連接DE．
（1）當DE=

21

時（如圖1），求⊙P的半徑；
（2）求線段DE長度的最大值；（如圖2）
（3）當線段DE最大時（如圖3），MN是⊙P的直徑，點G在⊙P上，I是△MNG的內(nèi)心，GI交P于F，若△MNG內(nèi)切圓半徑為

2

，求弦GF的長．

Answer 1

分析：（1）作⊙P直徑DF，再利用勾股定理得出DF²-（

1

2

DF）²=DE²，進而求出DF的長即可得出答案；
（2）由（1）中計算可知，要DE最大就是要DF最大，即是半徑PA最大，延長AO交⊙O于P，此時PA最大，首先得出AP的長進而利用由（1）中計算得：

3

4

DF²=DE²，得出DE即可；
（3）利用三角形內(nèi)心的知識得出△MNF是等腰直角三角形，進而得出MF=IF=

2

PN，由PN=3，IT=

2

，求出即可．

解答：解：（1）如圖1，
作⊙P直徑DF，
∴∠FED=90°，
∵∠F=∠A=60°
∴∠FDE=30°，
∴DF=2EF，
在Rt△DEF中，由勾股定理得
DF²-（

1

2

DF）²=DE²
∴

3

4

DF²=DE²
∴DF=2

7

，
∴⊙P的半徑為

7

；

（2）如圖2，作⊙P，連接AP、DF、EF，
由（1）中計算可知，要DE最大就是要DF最大，即是半徑PA最大，延長AO交⊙O于P，此時PA最大．
∵∠BAC=60°，
∴∠OAD=30°，
∴OA=2，AP=3，
∴DF=6，
由（1）中計算得：

3

4

DF²=DE²
∴DE²=

3

4

×36=27，
∴DE=3

3

；

（3）如圖3，作IT⊥NG于T，連MF、MI
∵I是△MNG的內(nèi)心，MN是⊙P的直徑
∴∠MGF=∠NGF=45°，∴GI=

2

IT，
∵∠MIF=∠IMG+∠MGI=∠IMG+45°，
∠IMF=∠IMN+∠FMN=∠IMN+45°，
∵I是△MNG的內(nèi)心，
∴∠IMG=∠IMN，
∴∠MIF=∠IMF，
∴MF=IF，
∵△MNF是等腰直角三角形，
∴MF=IF=

2

PN，
∵PN=3，IT=

2

，
∴GF=3

2

+2．

點評：此題主要考查了勾股定理以及圓周角定理和三角形內(nèi)心的知識，根據(jù)題意利用數(shù)形結(jié)合得出輔助線進而得出是解題關(guān)鍵．