Question

如圖1，在平面直角坐標(biāo)系x0y中，已知拋物線y=a（x+1）²+c（a＞0）與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，其頂點為M，若直線MC的函數(shù)表達式為y=kx-3，且cos∠BCO=

3 10

10

．

（1）求此拋物線的函數(shù)表達式；
（2）如圖2，若對稱軸與x軸的交點為N，在第三象限此拋物線上是否存在點P，將線段PN繞N點逆時針旋轉(zhuǎn)90°后，點P的對應(yīng)點Q落在直線MC上？若存在，求出點P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由；
（3）如圖3，若將直線MC沿y軸向上平移m個單位，與拋物線交于D、E兩點，與兩坐標(biāo)軸交于F、G兩點（點F、G均在線段DE上），分別過D、E兩點作DH⊥x軸于H，EI⊥y軸于I，當(dāng)四邊形DHIE為等腰梯形時，求出m的值．

Answer 1

分析：（1）首先由直線MC的解析式能求得C點的坐標(biāo)；連接BC，在Rt△BOC中，已知OC的長，根據(jù)∠BCO的余弦值能求得斜邊BC的長，再由勾股定理即可求出OB的值，則B點坐標(biāo)可得；再由待定系數(shù)法可求出該拋物線的解析式．
（2）分別過點P、Q作x軸的垂線PJ、QK，那么由∠PNQ=90°、PN=NQ可證得Rt△PJN≌Rt△NKQ，可得到的條件有：PJ=NK、JN=KQ，首先根據(jù)拋物線的解析式設(shè)出P點的坐標(biāo)，再由上述等長線段表達出點Q的坐標(biāo)，而點Q落在直線MC上，將該點坐標(biāo)代入直線MC的解析式中即可確定點P的坐標(biāo)．
（3）由（2）的解答過程知：直線MC的斜率為1，因此∠IHO=∠GFO=45°，可得：OI=OH；而四邊形DHIE是等腰梯形，那么IE=HD；設(shè)E點的坐標(biāo)為（a，b）（a＞0，b＞0），那么點D的坐標(biāo)可表達為（-b，-a），這兩點都在拋物線的圖象上，通過聯(lián)立方程組即可求出E、D兩點的坐標(biāo)；直線MC可由“左加右減、上加下減”的平移規(guī)律得到直線DE的函數(shù)表達式，再代入點D或點E的坐標(biāo)即可求出m的值．

解答：解：（1）由直線MC：y=kx-3，得：C（0，-3）；
連接BC（如圖1），在Rt△BOC中，OC=3，則：
BC=

OC

cos∠BCO

=

3

3 10

=

10

，OB=

BC2-OC2

=

10-9

=1；
∴B（1，0）；
將B（1，0）、C（0，-3）代入y=a（x+1）²+c（a＞0）中，得：

a(1+1)2+c=0 a(0+1)2+c=-3

，解得

a=1 c=-4

∴拋物線的函數(shù)表達式：y=（x+1）²-4=x²+2x-3．

（2）分別過點P、Q作PJ⊥x軸于J，QK⊥x軸于K；（如圖2）
∵PQ是由PN繞點N逆時針旋轉(zhuǎn)90°所得，
∴∠PNQ=90°，PN=NQ；
∵

∠PNJ=∠NQK=90°-∠QNK PN=NQ ∠PJN=∠NKQ=90°

，∴△PNJ≌△NQK，
∴PJ=NK，QK=JN；
設(shè)P（x，x²+2x-3）（-3＜x＜0），則PJ=NK=-x²-2x+3，OJ=-x；
∴QK=JN=OJ-ON=-x-1，OK=NK-ON=PJ-ON=-x²-2x+3-1=-x²-2x+2，則 Q（-x²-2x+2，x+1）；
由M（-1，-4）易求得直線MC：y=x-3，有：
-x²-2x+2-3=x+1，化簡，得：x²+3x+2=0
解得：x₁=-1，x₂=-2
∴P₁（-1，-4），P₂（-2，-3）．

（3）由題意知，直線DE：y=x+m-3；
∵kMC=kDE=1，∴tan∠EFO=1，即∠EFO=45°；
∵四邊形DHIE是等腰梯形，
∴HI∥DE，IE=HD；
在Rt△IHO中，∠IHO=∠EFO=45°，則OI=OH；
設(shè)E（a，b）（a＞0，b＞0），則：OH=OI=b，HD=IE=a，即 D（-b，-a）；
由于拋物線經(jīng)過D、E兩點，則有：

a2+2a-3=b b2-2b-3=-a

，解得

a= 17 -1 2 b= 17 +1 2

∴E（

17 -1

2

，

17 +1

2

），代入直線DE的解析式，有：

17 +1

2

=

17 -1

2

+m-3，解得：m=4；
即：四邊形DHIE為等腰梯形時，m=4．

點評：此題主要考查了函數(shù)解析式的確定、函數(shù)圖象的平移規(guī)律、解直角三角形、全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰梯形的性質(zhì)等綜合知識；在后面兩個小題中，先設(shè)一點的坐標(biāo)，然后通過線段間的等量關(guān)系表達出另一點的坐標(biāo)是基本的解題思路，難度較大．