Question

如圖，△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，CB=4，D是線段AB上的動點（點D運動過程中不與點A、點B重合）BD=x，過D作DE⊥AC，DF⊥BC．
（1）當點D運動到AB中點M時，線段EF的長度是

 

．
（2）設(shè)四邊形DECF的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）當x為何值時，S有最大值，并求出這個最大值．

Answer 1

考點：相似三角形的判定與性質(zhì),二次函數(shù)的最值,勾股定理

專題：壓軸題

分析：（1）當點D運動到AB中點M時，則DF，DE是三角形ABC的中位線，長度可求出利用勾股定理即可求出EF的長；
（2）用x表示出DE和DF的長，根據(jù)矩形的面積公式即可求出S與x的函數(shù)關(guān)系式．
（3）利用求出的二次函數(shù)表達式，求出頂點坐標，就可得出面積s最大時x的值．

解答：解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，CB=4，
∴AB=5，
∵DE⊥AC，DF⊥BC，
∴四邊形DECF是矩形，
當點D運動到AB中點M時，
則DF=

1

2

AC=

3

2

，DE=

1

2

BC=2，
∴EF=

DE2+DF2

=2.5，

（2））∵在Rt△ABC中，∠C=90°，DE⊥AC，DF⊥BC，BC=4，AC=3，
∴△DBF∽△ABC，
∴

DF

AC

=

BD

AB

，
∴

DF

3

=

x

5

，
∴DF=

3

5

x，
同理：DE=

4

5

（5-x），
∴S與x的函數(shù)關(guān)系式=DE•DF=

12

25

x（5-x）=

12

5

x-

12

25

x²，

（3）由（2）得：s=-

12

25

（x-2.5）²+

3

2

，
∴當x=

5

2

時，s有最大值為1.5．

點評：本題考查了相似三角形的判定及性質(zhì)、二次函數(shù)的最值．關(guān)鍵在于根據(jù)相似三角形及已知條件求出相關(guān)線段的表達式，求出二次函數(shù)表達式，根據(jù)表達式畫出圖象后，即可求出結(jié)論．