Question

如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4cm，BC=12cm．點P從點C處出發(fā)以1cm/s向A勻速運動，同時點Q從B點出發(fā)以2cm/s向C點勻速移動，若一個點到達目的停止運動時，另一點也隨之停止運動．運動時間為t秒；
（1）用含有t的代數式表示BQ、CP的長；
（2）寫出t的取值范圍；
（3）用含有t的代數式表示Rt△PCQ和四邊形APQB的面積；
（4）當P、Q處在什么位置時，四邊形PQBA的面積最小，并求這個最小值．

Answer 1

解：（1）t時刻時，
∵點P從點C處出發(fā)以1cm/s向A勻速運動，同時點Q從B點出發(fā)以2cm/s向C點勻速移動，
∴CP=t，BQ=2t，
即用含有t的代數式表示BQ、CP的長為：BQ=2t，CP=t．

（2）∵點P從點C處出發(fā)以1cm/s向A勻速運動，同時點Q從B點出發(fā)以2cm/s向C點勻速移動，
∴Q的速度是P的兩倍，
∵2AC＜BC，
∴可知P先到達A點，
且t==4．
∵若一個點到達目的停止運動時，另一點也隨之停止運動，
∴t的取值范圍是：0≤t≤4．

（3）由（1）得BQ=2t，CP=t，且BC=12cm，
∴CQ=12-2t，
∴Rt△PCQ的面積為==t（6-t），
∵Rt△ABC的面積為=24，
∴四邊形APQB的面積=Rt△ABC的面積-Rt△PCQ的面積=24-t（6-t）．

（4）由（3）得四邊形APQB的面積為24-t（6-t），
變形為t²-6t+24=（t-3）²+15，
根據二次函數的性質可知，當t=-=3時，取得最小值，解為15．
即CP=3cm，BQ=6cm時面積最小，最小為15cm²．
分析：（1）有時間和速度，根據路程=時間×速度，可以列出方程式．
（2）根據題意2AC＜BC，找到P點到達A的時間極為t的最大值，即可得出答案．
（3）由∠C=90°，根據直角三角形的面積求法，可以直接的出Rt△PCQ的面積，有Rt△ABC的面積，兩者之差即可得出答案．
（4）根據（3）中的表達式，求其最小值即可．
點評：本題考查了一元二次方程的運用，題目中設置了動態(tài)移動問題，要認清運動方向，根據所學的基本知識解題．