Question

已知：AB為⊙O的直徑，∠A=∠B=90°，DE與⊙O相切于E，⊙O的半徑為，AD=2．
①求BC的長；
②延長AE交BC的延長線于G點，求EG的長．

Answer 1

解：①過點D作DF⊥BC于點F，
∵AB為⊙O的直徑，∠A=∠B=90°，
∴四邊形ABFD是矩形，AD與BC是⊙O的切線，
∴DF=AB=2，BF=AD=2，
∵DE與⊙O相切，
∴DE=AD=2，CE=BC，
設BC=x，
則CF=BC-BF=x-2，DC=DE+CE=2+x，
在Rt△DCF中，DC²=CF²+DF²，
即（2+x）²=（x-2）²+（2）²，
解得：x=，
即BC=；

②∵AB為⊙O的直徑，∠A=∠B=90°，
∴AD∥BC，
∴△ADE∽△FEC，
∴AD：CG=DE：CE，AE：EG=AD：CG，
∵AD=DE=2，
∴CG=CE=BC=，
∴BG=BC+CG=5，
∴AE：EG=4：5，
在Rt△ABG中，AG==3，
∴EG=AG=．
分析：①過點D作DF⊥BC于點F，由切線長定理可得DE=AD=2，CE=BC，設BC=x，由在Rt△DCF中，DC²=CF²+DF²，即可得方程（2+x）²=（x-2）²+（2）²，解此方程即可求得答案；
②易證得△ADE∽△FEC，由相似三角形的對應邊成比例，可得AE：EG=4：5，由勾股定理即可求得AG的長，繼而求得答案．
點評：此題考查了切線的性質與判定、切線長定理以及勾股定理等知識．此題難度適中，注意掌握輔助線的作法，注意數(shù)形結合思想與方程思想的應用．