Question

（2010•鄂州）已知⊙O的半徑為10，弦AB的長(zhǎng)為10，點(diǎn)C在⊙O上，且C點(diǎn)到弦AB所在的直線的距離為5，則以O(shè)，A，B，C為頂點(diǎn)的四邊形的面積是    ．

Answer 1

【答案】分析：過(guò)O作OD⊥AB于D，由垂徑定理知AD=BD=5，則∠AOD=60°，OD=5；
①若延長(zhǎng)OD交⊙O于E，則DE=5，此時(shí)E點(diǎn)符合C點(diǎn)的要求，且四邊形OACB為菱形，根據(jù)菱形的面積為對(duì)角線乘積的一半即可求得其面積；
②過(guò)O作AB的平行線，交⊙O于M、N，由于O到AB的矩形為5，所以M、N均符合C點(diǎn)的要求；此時(shí)四邊形OCAB為梯形，且上底為10，下底為10，高為5，根據(jù)梯形的面積公式即可求得其面積．
解答：解：如圖，連接OA、OB，過(guò)O作垂直于AB的半徑OE，交AB于D；
Rt△OAD中，AD=AB=5，OA=10；
故∠AOD=60°，OD=5；
①易知DE=OE-OD=5；所以E點(diǎn)符合C點(diǎn)的要求；
此時(shí)四邊形OAEB的對(duì)角線AB、OE互相垂直平分，故四邊形OAEB是菱形；
∴S_菱形OAEB=AB•OE=50；
②過(guò)O作平行于AB的直徑，交⊙O于M、N，則M、N到AB的距離均為OD=5；
所以M、N也符合C點(diǎn)的要求；
∴S_梯形OMAB=S_梯形ONBA=（OM+AB）×OD=25+25；
故以O(shè)，A，B，C為頂點(diǎn)的四邊形的面積是50或25+25
點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了垂徑定理及解直角三角形的應(yīng)用；計(jì)算過(guò)程并不復(fù)雜，難點(diǎn)在于能夠?qū)⑺�有的情況都考慮到．