Question

已知：直線y=-2x-2與x軸交于點A，與y軸交于點C，拋物線經(jīng)過點A、C、E，且點E（6，7）
（1）求拋物線的解析式．
（2）在直線AE的下方的拋物線取一點M使得構(gòu)成的三角形AME的面積最大，請求出M點的坐標(biāo)及△AME的最大面積．
（3）若拋物線與x軸另一交點為B點，點P在x軸上，點D（1，-3），以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似，求點P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1）∵直線y=-2x-2與x軸交于點A，與y軸交于點C，
∴A（-1，0），C（0，-2）．
設(shè)過點A、C、E三點的拋物線的解析式為y=ax²+bx+c，
則，
解得，
∴y=x²-x-2；

（2）在拋物線上取一點M，作MN∥y軸交AE于點N，過點E作EH⊥x軸于點H，則S_△AME=•MN•AH．
設(shè)點M的橫坐標(biāo)為a，則縱坐標(biāo)為a²-a-2．
∵M(jìn)N∥y軸，∴點N的橫坐標(biāo)為a．
設(shè)直線AE的解析式y(tǒng)=kx+b，把A（-1，0）、E（6，7）代入，
得，解得，
∴y=x+1．
∵N在直線AE上，∴N（a，a+1）．
∴MN=a+1-（a²-a-2）=a+1-++2=-++3，
∴當(dāng)a==時，MN有最大值，此時MN==，
∴S_△AME=，M（，）；

（3）過點E作EF⊥x軸于點F，過點D作DM⊥x軸于點M．
∵A（-1，0），B（4，0），E（6，7），
∴AO=1，BO=4，F(xiàn)O=6，F(xiàn)E=7，AB=5，
∴AF=FE=7，∠EAB=45°，AE==．
∵D（1，-3 ），
∴DM=3，OM=1，MB=3，
∴DM=MB=3，
∴∠MBD=45°，
∴∠EAB=∠MBD，BD==．
過點D作∠DP₁B=∠AEB交x軸于點P₁，則△ABE∽BDP₁，
∴AE：P₁B=AB：BD，即：P₁B=5：，
∴P₁B=，P₁O=P₁B-OB=-4=，
∴P₁（-，0）；
過點D作∠DP₂B=∠ABE交x軸于點P₂，則△ABE∽△BP₂D，
∴DB：AE=P₂B：AB，即：=P₂B：5，
∴P₂B=，P₂O=OB-P₂B=4-=，
∴P₂（，0）．
分析：（1）先根據(jù)直線y=-2x-2與x軸交于點A，與y軸交于點C，求出A，C兩點的坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；
（2）在拋物線上取一點M，作MN∥y軸交AE于點N，過點E作EH⊥x軸于點H，則S_△AME=•MN•AH，而AH=7，故當(dāng)MN取最大值時，△AME的面積最大．設(shè)點M的橫坐標(biāo)為a，則縱坐標(biāo)為a²-a-2，先用待定系數(shù)法求出AE的解析式，得到N的坐標(biāo)為（a，a+1），再用含a的代數(shù)式表示MN，然后根據(jù)二次函數(shù)的增減性求出MN的最大值；
（3）過點E作EF⊥x軸于點F，過點D作DM⊥x軸于點M．先證明△EAF與△BDM都是等腰直角三角形，得到∠EAB=∠MBD．當(dāng)以點P、B、D為頂點的三角形與△AEB相似時，①過點D作∠DP₁B=∠AEB交x軸于點P₁，得到△ABE∽BDP₁；②過點D作∠DP₂B=∠ABE交x軸于點P₂，得到△ABE∽△BP₂D，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例即可．
點評：本題著重考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)的最值、相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形的面積等知識點，綜合性較強(qiáng)，考查學(xué)生分類討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法．