Question

【題目】請(qǐng)閱讀下列材料：

問(wèn)題：如圖1，在等邊三角形ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=2，PB=，PC=1、求∠BPC度數(shù)的大小和等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)．

小剛同學(xué)的思路是：將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，畫(huà)出旋轉(zhuǎn)后的圖形（如圖2），連接PP′，可得△P′PC是等邊三角形，而△PP′A又是直角三角形（由勾股定理的逆定理可證），所以∠APB=150°，而∠BPC=∠AP′B=150°，進(jìn)而求出等邊△ABC的邊長(zhǎng)為，問(wèn)題得到解決.

請(qǐng)你參考小剛同學(xué)的思路，探究并解決下列問(wèn)題：

如圖3，在正方形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)P，且PA=，BP=2，PC=．求∠BPC度數(shù)的大小和正方形ABCD的邊長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】∠BPC=135°，正方形邊長(zhǎng)為．

【解析】

首先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出△BPC≌△BP′A，利用AP′=PC=，BP=BP′=2得出△AP′P是直角三角形，再利用過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AP′交AP′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，利用勾股定理得出AB的長(zhǎng)．

解：如圖，將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得△BP′A，

則△BPC≌△BP′A．

∴AP′=PC=，BP=BP′=2．

連結(jié)P P′，

在Rt△BP′P中，

∵BP=BP′=2，∠PBP′=90°，

∴P P′=2，∠BP′P=45°．

在△AP′P中，AP′=，P P′=2，AP=，

∵（）2+（2）2=（）2，即AP′2+PP′2=AP2．

∴△AP′P是直角三角形，即∠A P′P=90°．

∴∠AP′B=135°．

∴∠BPC=∠AP′B=135°．

如圖，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AP′交AP′的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．

∴∠EP′B=45°．

∴EP′=BE=．

∴AE=2．

∴在Rt△ABE中，由勾股定理，得AB=．

∴∠BPC=135°，正方形邊長(zhǎng)為．