Question

已知兩個二次函數(shù)y₁，y₂，當x=m（m＜0）時，y₁取最小值6，y₂=7；又y₂的最小值-5.5；y₁+y₂=x²-3x+9．
（1）求m的值；
（2）求二次函數(shù)y₁，y₂的表達式．

Answer 1

解：（1）由y₁+y₂=x²-3x+9可知，
6+7=m²-3m+9，
解得：m₁=-1，m₂=4，
∵m＜0，
所以m=-1，

（2）設y₁=b（x+1）²+6；
y₂=c（x-a）²-5.5；
于是，y₁+y₂=b（x+1）²+6+c（x-a）²-5.5，
即x²-3x+9=b（x+1）²+6+c（x-a）²-5.5=（b+c）x²+（2b-2ca）x+（b+ca²+0.5），
由二次項系數(shù)相等得：c+b=1，
即c=1-b，①
由一次項系數(shù)相等得：-3=2b-2ca②，
由常數(shù)項相等得：9=b+ca²+0.5 ③，
由第（1）問，x=-1時，y₂=7，即c（-1-a）²-5.5=7 ④
聯(lián)立以上四個方程（具體過程略，可先把c=b-1代入后面三個方程，再消去b），
解得：c=，b=，a=4，
∴y₁=（x+1）²+6；y₂=（x-4）²-5.5．
分析：（1）根據y₁+y₂=x²-3x+9可知，6+7=m²-3m+9即可得出m的值；
（2）根據已知假設出兩二次函數(shù)解析式，再利用對應項系數(shù)相等，得出方程解出即可．
點評：此題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式以及二次函數(shù)最值問題，根據題意得出相關等式方程是解決問題的關鍵．