Question

如圖，雙曲線y=

k

x

（k＞0，x＞0）的圖象上有兩點(diǎn)P₁（x₁，y₁）和P₂（x₂，y₂），且x₁＜x₂，分別過(guò)P₁和P₂向x軸作垂線，垂足為B、D．過(guò)P₁和P₂向y軸作垂線，垂足為A、C．
（1）若記四邊形AP₁BO和四邊形CP₂DO的面積分別為S₁和S₂，周長(zhǎng)為C₁和C₂，試比較S₁和S₂，C₁和C₂的大小；
（2）若P是雙曲線y=

k

x

（k＞0，x＞0）的圖象上一點(diǎn)，分別過(guò)P向x軸、y軸垂線，垂足為M、N．試問(wèn)當(dāng)P點(diǎn)落在何處時(shí)，四邊形PMON的周長(zhǎng)最小？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)反比例函數(shù)中系數(shù)k的幾何意義可直接得到S₁=S₂；由于AC、BD的值不能確定，所以應(yīng)分AC=BD、AC＜BD、AC＞BD三種情況討論．
（2）根據(jù)題意畫(huà)出圖形，設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)k為定值，則當(dāng)x=y時(shí)四邊形的周長(zhǎng)最�。�

解答：解：（1）根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義可知S₁=S₂=k；
當(dāng)y₁-y₂=x₂-x₁，即AC=BD時(shí)，C₁=C₂；
當(dāng)y₁-y₂＜x₂-x₁，即AC＜BD時(shí)，C₁＜C₂；
當(dāng)y₁-y₂＞x₂-x₁，即AC＞BD時(shí)，C₁＞C₂．

（2）設(shè)P（x，y），即（x，

k

x

），
四邊形PMON的周長(zhǎng)=2（x+y）=2（x+

k

x

），
因?yàn)槊娣e相等的四邊形中正方形的周長(zhǎng)最小，
所以x=

k

x

，即x²=k，
解得x=

k

，
故P點(diǎn)坐標(biāo)為（

k

，

k

）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的是反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義及最值問(wèn)題，在解（1）時(shí)要注意注意分類(lèi)討論．