Question

（12分）已知：如圖，△ABC中，AB=AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)P，PD⊥AC于點(diǎn)D．

（1）求證：PD是⊙O的切線；（6分）

（2）若∠CAB=120°，AB=2，求BC的值．（6分）

Answer 1

（1）見解析；（2）2

【解析】

試題分析：（1）根據(jù)AB=AC得到∠B=∠C，根據(jù)OP=OB得出∠B=∠OPB，從而說明∠C=∠OPB，可以得出OP∥AC，根據(jù)PD⊥AC得出∠OPD=90°，即為切線；（2）連接AP，根據(jù)直徑得出∠APB=90°，根據(jù)∠BAC的度數(shù)求出∠C和∠B的度數(shù)，根據(jù)Rt△APB求出AP和BP的長度，然后得出BC的長度.

試題解析：（1）連接OP.

∵AB=AC ∴∠C=∠B ∵OP=OB ∴∠OPB=∠B ∴∠C=∠OPB

∴OP∥AC ∴∠OPD=∠PDC ∵PD⊥AC于點(diǎn)D ∴∠PDC=90° ∴∠OPD=90°，即：OP⊥PD

∵OP為⊙O半徑 ∴PD是⊙O切線

（2）連接AP. ∵AB為⊙O直徑 ∴∠APB=90°,即：AP⊥BC

∵AB=AC，∠BAC=120° ∴∠C=∠B=30°,BP=PC=BC

∵在Rt△APB中，∠B=30° ∴AP=AB=1

∴BP= ∴BC=2BP=2

考點(diǎn)：切線的判定、勾股定理的應(yīng)用.