Question

已知：如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，分別以AB、AD為腰作等腰三角形△ABF和等腰三角形△ADE，且頂角∠BAF=∠DAE，連結(jié)BD、EF相交于點G，BD與AF相交于點H．

（1）求證：BD=EF；

（2）當(dāng)線段FG、GH和GB滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，四邊形ABCD是菱形，并加以證明．

 

Answer 1

（1）證明：∵ ∠BAF=∠DAE，

∴∠BAF+∠FAD=∠DAE +∠FAD，即∠BAD=∠FAE．

在△BAD和△FAE中

∵ AB=AF，∠BAD=∠FAE，AD=AE，∴△BAD ≌ △FAE（SAS）．

  ∴ BD = EF．

（2）當(dāng)線段滿足時，四邊形ABCD是菱形．

證明：∵，∴． 又∵∠BGF=∠FGB，

∴△GHF ∽ △GFB．∴ ∠EFA=∠FBD．

∵△BAD ≌ △FAE， ∴ ∠EFA=∠ABD．

∴ ∠FBD =∠ABD．∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ AD // BC．∴ ∠ADB=∠FBD．

∴ ∠ADB=∠ABD．

∴ AB=AD．

又∵ 四邊形ABCD是平行四邊形，

∴ 四邊形ABCD是菱形．