Question

如圖，等腰梯形ABCD，AD∥BC，AB=CD，BD平分∠ABC，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，EF⊥BC，DF=DC，DF交BC于點(diǎn)G，若EG=1，BE=9，則AD=

7

．

Answer 1

分析：延長(zhǎng)FE交AD于M，過(guò)D作DN⊥BC于N，延長(zhǎng)BA、CD交于O，求出FM⊥AD，AM=DM，設(shè)AB=AD=DC=DF=x，則DM=x，求出∠F=30°，求出GN=

1

2

DG=

1

2

（x-2），由勾股定理求出DN=

3

2

（x-2），由勾股定理得出DC²=DN²-CN²，代入得出方程[

3

2

（x-2）]²+[8-

1

2

（x-2）]²=x²，求出方程的解即可．

解答：
解：延長(zhǎng)FE交AD于M，過(guò)D作DN⊥BC于N，延長(zhǎng)BA、CD交于O，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，AD∥BC，∠ABC=∠DCB，
∴OB=OC，∠OAD=∠ODA，
∴OA=OB，
即O在AD的垂直平分線(xiàn)上，O也在BC的垂直平分線(xiàn)上，
∵E為BC中點(diǎn)，EF⊥BC，
∴FM是BC的垂直平分線(xiàn)，
∴FM⊥AD，AM=DM，
設(shè)AB=AD=DC=DF=x，
則DM=x，
∵∠FMD=90°，DM=

1

2

DF，
∴∠F=30°，
∵∠FEG=90°，EG=1，
∴FG=2，
∴DG=x-2，
∵DN⊥BC，
∴∠DNC=∠DNG=90°，
∵E為BC中點(diǎn)，
∴BE=CE=9，
∴CG=9-1=8，
∵DN⊥BC，EF⊥BC，
∴EF∥DN，
∴∠NDG=∠F=30°，
∴GN=

1

2

DG=

1

2

（x-2），
由勾股定理得：DN=

3

2

（x-2），
由勾股定理得：DC²=DN²-CN²，
即[

3

2

（x-2）]²+[8-

1

2

（x-2）]²=x²
解得：x=7，
即AD=7．
故答案為：7．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了等腰三角形性質(zhì)，線(xiàn)段垂直平分線(xiàn)性質(zhì)，含30度角的直角三角形性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，題目綜合性比較強(qiáng)，難度偏大．