Question

在正方形ABCD中，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接BP，過(guò)P作PQ⊥BP，PQ交CD于Q，若AP=CQ=2，則正方形ABCD的面積為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：全等三角形的判定與性質(zhì),正方形的性質(zhì)

專題：

分析：作PE⊥AD與E，過(guò)點(diǎn)P作PG⊥CD于G，交AB于F，根據(jù)已知條件以及正方形ABCD的性質(zhì)，易證明四邊形AEPF是正方形，則其邊長(zhǎng)是

2

，易證得△PQG≌△BPF，則QG=PF=

2

，則大正方形的邊長(zhǎng)是CQ+QG+DG=2+

2

+

2

=2+2

2

，進(jìn)而可得其面積．

解答：解：作PE⊥AD與E，過(guò)點(diǎn)P作PF⊥AB于F，延長(zhǎng)FP交CD于G，
∵正方形ABCD，
∴∠DAC=∠BAC=45°，∠DAB=90°=∠PEA=∠PFA，
∴PE=PF，
∴四邊形AEPF是正方形，
∴AE=PE=PF=AF，
∵AP=2，由勾股定理得：AE²+PE²=2²，
∴AE=PE=PF=AF=

2

，
∴PG=BF，且∠PFB=∠PGQ=90°；
∵∠FBP+∠FPB=90°，∠FPB+∠QPG=90°，
∴∠FBP=∠GPQ，
在△PQG和△BPF中

∠FBP=∠GPQ ∠BFP=∠PGQ=90° BF=PG

，
∴△PQG≌△BPF，
則QG=PF=

2

，
∴CD=CQ+QG+GD=2+

2

+

2

=2+2

2

，
則大正方形的邊長(zhǎng)是2+2

2

，即面積是12+8

2

；
故答案為12+8

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定和性質(zhì)，主要是通過(guò)作輔助線構(gòu)造正方形和全等三角形，然后求得大正方形的邊長(zhǎng)．