(2006,北京)如圖1,OP是∠MON的平分線,請你利用該圖畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形.

請你參考這個作全等三角形的方法,解答下列問題:

(1)如圖2,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,AD、CE相交于點F.請你判斷并寫出FEFD之間的數(shù)量關系;

(2)如圖3,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其他條件不變,請問,你在(1)中所得結論是否仍然成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.

答案:略
解析:

問題二.圖略.

(1)FEFD之間的數(shù)量關系為FE=FD

(2)(1)中的結論FE=FD仍然成立.

證法一:如圖(1),在AC上截取AG=AE,連結FG

∵∠1=2,AF為公共邊,可證△AEF≌△AGF

∴∠AFE=AFG,FE=FG

由∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,可得∠2+∠3=60°,

∴∠AFE=CFD=AFG=60°,

∴∠CFG=60°.

由∠3=4FC為公共邊,可得△CFG≌△CFD

FG=FD,∵FE=FD

證法二:如圖(2)

過點F分別作FGAB于點G,FHBC于點H

∵∠B=60°,且AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,

∴可得∠2+∠3=60°,F是△ABC的內(nèi)心,

∴∠CEF=60°+∠1FG=FH

又∵∠HDF=B+∠1,∴∠CEF=HDF

因此可證△EGF≌△DHF,∴FE=DF


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(1)如圖②,在△ABC中,∠ACB是直角,∠B=60°,AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線,AD、CE相交于點F.請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關系;
(2)如圖③,在△ABC中,如果∠ACB不是直角,而(1)中的其它條件不變,請問,你在(1)中所得結論是否仍然成立?若成立,請證明;若不成立,請說明理由.

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