Question

(2006，北京)如圖1，OP是∠MON的平分線，請你利用該圖畫一對以OP所在直線為對稱軸的全等三角形．

請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：

(1)如圖2，在△ABC中，∠ACB是直角，∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點F．請你判斷并寫出FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系；

(2)如圖3，在△ABC中，如果∠ACB不是直角，而(1)中的其他條件不變，請問，你在(1)中所得結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

答案：略
解析：

問題二．圖略． (1)FE與FD之間的數(shù)量關(guān)系為FE=FD． (2)(1)中的結(jié)論FE=FD仍然成立． 證法一：如圖(1)，在AC上截取AG=AE，連結(jié)FG． ∵∠1=∠2，AF為公共邊，可證△AEF≌△AGF， ∴∠AFE=∠AFG，FE=FG． 由∠B=60°，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，可得∠2＋∠3=60°， ∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°， ∴∠CFG=60°． 由∠3=∠4及FC為公共邊，可得△CFG≌△CFD， ∴FG=FD，∵FE=FD． 證法二：如圖(2)． 過點F分別作FG⊥AB于點G，FH⊥BC于點H． ∵∠B=60°，且AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線， ∴可得∠2＋∠3=60°，F是△ABC的內(nèi)心， ∴∠CEF=60°＋∠1，FG=FH． 又∵∠HDF=∠B＋∠1，∴∠CEF=∠HDF． 因此可證△EGF≌△DHF，∴FE=DF．