Question

【題目】如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（，0），B（4，0），C（0，2）三點(diǎn)，點(diǎn)D與點(diǎn)C關(guān)于軸對(duì)稱，點(diǎn)P是軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，0），過(guò)點(diǎn)P作軸的垂線交拋物線于點(diǎn)Q，交直線BD于點(diǎn)M．

（1）求該拋物線所表示的二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）點(diǎn)P在線段AB上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，是否存在點(diǎn)Q，使得以B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

（3）已知點(diǎn)F（0，），點(diǎn)P在軸上運(yùn)動(dòng)，試求當(dāng)為何值時(shí)，以D、M、Q、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在點(diǎn)Q，使得以B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，2）或（，0）；（3）當(dāng)或或或時(shí)，以D、M、Q、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．

【解析】

（1）根據(jù)題意可設(shè)拋物線的解析式為，得出a的值，再代入解析式即可

（2）存在點(diǎn)Q，使得以B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似，則分為以下兩種情況①當(dāng)∠DOB=∠MBQ=90°時(shí)，可以得到△MBQ∽△BPQ即可解答，②當(dāng)∠BQM=90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，△BOD∽△BQM′即可解答

（3）根據(jù)題意可知點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，），得到直線BD解析式為，因?yàn)镼M⊥軸，P（，0），則，因?yàn)镕，、D（0，），，所以當(dāng)QM=DF，即時(shí)，以D、M、Q、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，即可解答

解：（1）∵拋物線過(guò)點(diǎn)A（，0）、B（4，0），

∴可設(shè)拋物線的解析式為，

∵拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C（0，2），

∴，

解得：，

∴拋物線解析式為；

（2）存在點(diǎn)Q，使得以B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似.

如圖所示：

∵QM∥DC，

∴∠ODB=∠QMB，

分以下兩種情況：

①當(dāng)∠DOB=∠MBQ=90°時(shí)，△DOB∽△MBQ，

則，

∵∠MBQ=90°，

∴∠MBP+∠PBQ=90°，

∵∠MPB=∠BPQ=90°，

∴∠MBP+∠BMP=90°，

∴∠BMP=∠PBQ，

∴△MBQ∽△BPQ，

∴，

∵P（，0），B（4，0），

∴BP，，

∴，

解得：，

當(dāng)時(shí)，點(diǎn)P、Q、M均與點(diǎn)B重合，不能構(gòu)成三角形，舍去，

∴，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，2）； ,

②當(dāng)∠BQM=90°時(shí)，此時(shí)點(diǎn)Q與點(diǎn)A重合，△BOD∽△BQM′，

此時(shí)m=-1，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（，0）；

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（3，2）或（，0）時(shí)，以點(diǎn)B、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△BOD相似．

（3）∵點(diǎn)D與點(diǎn)C（0，2）關(guān)于軸對(duì)稱，

∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（0，），

設(shè)直線BD解析式為，

則有：，解得：，

∴直線BD解析式為，

∵QM⊥軸，P（，0），

∴Q、M，

則，

∵F，、D（0，），

∴，

∵QM∥DF，

∴當(dāng)QM=DF，即時(shí)，以D、M、Q、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，

解得：m=-1或m=3或或，

即m=-1或m=3或或時(shí)，以D、M、Q、F為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．