Question

已知0°＜θ＜90°，且關(guān)于x的方程x²-2xtanθ-3=0的兩個根的平方和等于10，則以tanθ，

1

sinθ

為根的一元二次方程為______．

Answer 1

設(shè)x₁，x₂為關(guān)于x的方程x²-2xtanθ-3=0的兩個根，
∴x₁+x₂=2tanθ，x₁•x₂=-3．
又∵x₁²+x₂²=10，
∴（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=10，
∴4tan²θ+6=10，
∴tanθ=±1．
∵0°＜θ＜90°，
∴tanθ＞0，
∴tanθ=1，
∴θ=45度．
當(dāng)θ=45°時，△=4tan²θ+12＞0，
∴tanθ+

1

sinθ

=1+

2

，
tanθ•

1

sinθ

=

2

．
∴以tanθ，

1

sinθ

為根的一元二次方程為y²-（1+

2

）y+

2

=0．
故填空答案：y²-（1+

2

）y+

2

=0．