Question

如圖：AB和CD是兩堵和地面BC垂直的墻，兩堵墻之間的距離是14米，一個(gè)10米長(zhǎng)的梯子下端支在地面上某點(diǎn)，上端靠在墻上．
（1）梯子上端靠在AB上一點(diǎn)E處，梯子與地面的夾角∠EMB=60°，保持下端M點(diǎn)不變，把梯子上端靠在CD上一點(diǎn)F處，梯子與地面的夾角∠FMC的正切值等于多少？
（2）如果把梯子下端固定在地面上某一點(diǎn)N處時(shí)，可以使梯子上端靠墻AB和靠墻CD得到的兩個(gè)三角形全等，求這時(shí)BN的長(zhǎng)度．

Answer 1

分析：（1）利用cos60°=

BM

EM

，求出BM的長(zhǎng)，進(jìn)而利用勾股定理求出FC，即可求出梯子與地面的夾角∠FMC的正切值；
（2）利用當(dāng)BN=NC時(shí)，當(dāng)BN=FC時(shí)根據(jù)全等三角形的判定分別求出BN的長(zhǎng)即可．

解答：解：（1）在Rt△EBM中，
∵∠EMB=60°，EM=10，
∴cos60°=

BM

EM

，
BM=EMcos60°=10×

1

2

=5，
∴MC=14-5=9（m），
∵FM=10，
∴FC=

100-81

=

19

，
∴tan∠FMC=

19

9

；
答：梯子與地面的夾角∠FMC的正切值等于

19

9

；

（2）當(dāng)BN=NC時(shí)，EN=FN=10，
在Rt△EBN和Rt△FCN中，
∵

EN=FN BN=NC

，
∴Rt△EBN≌Rt△FCN（HL），
此時(shí)N為BC中點(diǎn)，故BN=7，
當(dāng)BN=FC時(shí)，
在Rt△EBN和Rt△NCF中，
∵

EN=NF BN=FC

，
∴Rt△EBN≌Rt△NCF（HL），
設(shè)BN=x，則NC=14-x，F(xiàn)C=x，
∵FN ²=NC ²+FC ²，
∴10 ²=（14-x）²+x ²，
解得：x₁=6，x₂=8，
故BN=6或8．
綜上所述：BN的長(zhǎng)為6，7，8時(shí)，可以使梯子上端靠墻AB和靠墻CD得到的兩個(gè)三角形全等．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用以及全等三角形的判定和性質(zhì)以及一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)，正確進(jìn)行分類(lèi)討論是解題關(guān)鍵．