Question

如圖，AB是⊙O直徑，OC⊥AB，弦CD與OB交于點F，過點D、A分別作⊙O的切線交于點G，切線GD與AB延長線交于點E．
（1）求證：∠C+∠EDF=90°
（2）已知：AG=6，⊙O的半徑為3，求OF的值．

Answer 1

考點：切線的性質(zhì)

專題：

分析：（1）連接OD，根據(jù)切線的性質(zhì)得OD⊥DE，則∠EDF+∠ODC=90°，而∠C=∠ODC，則∠EDF+∠C=90°．
（2）先求得EF=ED，設(shè)DE=x，則EF=x，根據(jù)切線的性質(zhì)由AG為⊙O的切線得∠ODE=90°，再證明Rt△EOD∽Rt△EGA，利用相似比求得AE=2x，OE=3+

1

2

x，然后根據(jù)AE-OE=OA=3，求得x的值，進而求得OF=1．

解答：（1）證明：連接OD，
∵DE為⊙O的切線，
∴OD⊥DE，
∴∠ODE=90°，即∠EDF+∠ODC=90°，
∵OC=OD，
∴∠C=∠ODC，
∴∠C+∠EDF=90°．

（2）解：∵∠C+∠EDF=90°，∠C+∠CFO=90°，∠CFO=∠EFD，
∴∠EFD=∠EDF，
∴EF=ED，
設(shè)DE=x，則EF=x，
∵∠ODE=∠GAE，∠OED=∠GEA，
∴Rt△EOD∽Rt△EGA，
∴

OD

AG

=

DE

AE

=

OE

GE

，即

3

6

=

x

AE

=

OE

6+x

，
∴AE=2x，OE=3+

1

2

x，
∵AE-OE=OA=3，
∴2x-（3+

1

2

x）=3，解得x=4，
∴AE=2x=8，
∴OF=AE-EF-OA=8-3-4=1．

點評：本題考查了切線的性質(zhì)：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑．也考查了相似三角形的判定與性質(zhì)．