如圖，AB為半圓的直徑，C是半圓弧上一點(diǎn)，正方形DEFG的一邊DG在直徑AB上，另一邊DE過(guò)△ABC的內(nèi)切圓圓心O，且點(diǎn)E在半圓弧上．①若正方形的頂點(diǎn)F也在半圓弧上，則半圓的半徑與正方形邊長(zhǎng)的比是______；②若半圓的直徑AB=21，△ABC的內(nèi)切圓半徑r=4，則正方形DEFG的面積為______．
①如圖，根據(jù)圓和正方形的對(duì)稱性可知：GH=
1
2
DG=
1
2
GF，
H為半圓的圓心，不妨設(shè)GH=a，則GF=2a，
在直角三角形FGH中，由勾股定理可得HF=
5
a．由此可得，半圓的半徑為
5
a，正方形邊長(zhǎng)為2a，
所以半圓的半徑與正方形邊長(zhǎng)的比是
5
a：2a=
5
：2；


②連接OI、OJ，可得OICJ是正方形，且邊長(zhǎng)是4，
設(shè)BD=x，AD=y，則BD=BI=x，AD=AJ=y，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得（x+4）2+（y+4）2=（x+y）2；
∴8（x+y）+32=2xy，
在直角三角形AEB中，可以證得△ADE∽△EBD∽△ABE，
于是得到ED2=AD•BD，即102=x•y②．
∴正方形DEFG的面積為：100，
故答案為：①
5
：2，②100．
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（3）汽車?yán)^續(xù)向前運(yùn)動(dòng)，當(dāng)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)E時(shí)，發(fā)現(xiàn)∠AFB=∠AFC=90°，則AF是什么線段？這樣的線段在△ABC中有幾條？

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2
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3
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BD
、
BC
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