如圖,在⊙O中,半徑OA⊥OB,C、D為弧AB的三等分點(diǎn).弦AB分別交OC、OD于點(diǎn)E、F,下列結(jié)論:①∠AOC=30°;②CE=DF;③∠AEO=105°;④AE=EF=FB.其中正確的有
①②③
①②③
分析:先根據(jù)OA⊥OB可知∠AOB=90°,再由C、D為弧AB的三等分點(diǎn)可求出∠AOC的度數(shù);由三角形內(nèi)角和定理求出∠OCD的度數(shù),根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出∠OEF及∠OFE的度數(shù),由此即可得出結(jié)論;根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可得出∠AEO的度數(shù);連接AC,BD,可得出CD=AE=BF,由②可知EF∥CD,所以EF<CD,故可得出結(jié)論.
解答:解:∵在⊙O中,半徑OA⊥OB,C、D為弧AB的三等分點(diǎn),
∴∠AOC=
1
3
∠AOB=
1
3
×90°=30°,故①正確;
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=45°,
∵∠AOC=∠BOD=30°,
∴∠OEF=∠OAB+∠AOC=45°+30°=75°,同理∠OFE=75°,
∴OE=OF,
∵OC=OD,
∴CE=DF,故②正確;
∵△AOE中,∠OAB=45°,∠AOC=30°,
∴∠AEO=180°-45°-30°=105°,故③正確;
連接AC,BD,
∵由②知,OC=OD,OE=OF,
∴EF∥CD,
∴EF<CD,
∵C,D是
AB
的三等分點(diǎn),
∴AC=CD=BD,
∵∠AOC=∠COD,OA=OC=OD,
∴△ACO≌△DCO.
∴∠ACO=∠OCD.
∵∠OEF=∠OAE+∠AOE=45°+30°=75°,∠OCD=
180°-30°
2
=75°,
∴∠OEF=∠OCD,
∴CD∥AB,
∴∠AEC=∠OCD,
∴∠ACO=∠AEC.
故AC=AE,
同理,BF=BD.
又∵AC=CD=BD
∴CD=AE=BF,故④錯(cuò)誤.
故答案為:①②③.
點(diǎn)評(píng):本題考查的是圓的綜合題,涉及到等腰三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定定理等知識(shí),難度適中.
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5

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25°
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