Question

如圖，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，點E是AB的中點，AD+BC=CD，下列結(jié)論中：
①△ADE∽△BEC；②DE²=DA•DC；③若設(shè)AD=a，CD=b，BC=C，則關(guān)于x的方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數(shù)根；④若設(shè)AD=a，CD=b，BC=C，則關(guān)于x的方程ax²+bx+c=0有兩個相等的實數(shù)根．其中正確的結(jié)論有________．

Answer 1

①②③
分析：過E作梯形兩底的平行線EF，交CD于F；由梯形的中位線定理知AD+BC=2EF，故DC=2EF，由于F是CD的中點，即可證得△DEC是直角三角形，然后根據(jù)得到這個條件對四個結(jié)論逐一判斷．
解答：過E作EF∥AD∥BC；
∵E是AB的中點，
∴EF是梯形ABCD的中位線，即AD+BC=2EF，F(xiàn)是CD的中點；
又∵AD+BC=CD，
∴CD=2EF，又F是CD的中點，
易得△DEC是直角三角形，即∠DEC=90°；
由于AD∥EF，且F是Rt△EDC斜邊CD的中點（即FE=FD），
∴∠ADE=∠FED=∠FDE，
過E作EG⊥CD，
∵∠A=∠EGD=90°，∠ADE=∠GDE，DE=DE，
∴△ADE≌△DEG，同理可證△BEC≌△GEC；
①∵∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，又∠ADE+∠AED=90°，
∴∠ADE=∠BEC，又∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC，故本選項正確；
②在Rt△DEC中，EG⊥CD，由射影定理得：DE2=DG•DC，
由于AD=DG，所以DE2=DA•DC，故本選項正確；
③若AD=a，CD=b，BC=c，則由：
a+c=b，即c=b-a；
∴關(guān)于x的方程ax²+bx+c=0根的判別式為：
△=b²-4a（b-a）=b²-4ab+4a²=（b-2a）2；
由于EF≠AD，即CD≠2AD，b≠2a，
∴△=（b-2a）²＞0，
即方程有兩個不相等的實數(shù)根，故本選項正確；
④若AD=a，CD=b，BC=c，則由：
a+c=b，即c=b-a；
∴關(guān)于x的方程ax²+bx+c=0根的判別式為：
△=b²-4ac=b²-4a（b-a）=b²-4ab+4a²=（b-2a）²；
由于EF≠AD，即CD≠2AD，b≠2a，
∴△=（b-2a）2＞0，
即方程有兩個不相等的實數(shù)根，故本選項錯誤．
故答案是：①②③．
點評：此題考查的知識點有：直角梯形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、梯形中位線定理以及根的判別式等知識，解此題的關(guān)鍵有兩步：①證明△DEC是直角三角形，②通過輔助線構(gòu)造出全等三角形．