Question

如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6cm，將一等腰直角三角板的銳角頂點(diǎn)與點(diǎn)D重合，邊DE、DF分別交AB、BC于點(diǎn)M、N，旋轉(zhuǎn)三角板DEF，當(dāng)MN=5cm時(shí)，CN的長(zhǎng)為

2或3

．

Answer 1

分析：把△ADM繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CGD，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得DM=DG，∠ADM=∠CDG，然后求出∠NDG=45°，從而得到∠NDG=∠MDN，再利用“邊角邊”證明△DMN和△DGN全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得MN=NG，求出MN=AM+CN，設(shè)CN=x，表示出BM、BN，然后在Rt△BMN中，利用勾股定理列出方程求解即可．

解答：解：如圖，把△ADM繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△CGD，
則DM=DG，∠ADM=∠CDG，
∵△DEF是等腰直角三角形，
∴∠MDN=45°，
∴∠NDG=∠CDN+∠CDG=∠CDN+∠ADM=90°-∠MDN=90°-45°=45°，
∴∠NDG=∠MDN，
在△DMN和△DGN中，

DM=DG ∠NDG=∠MDN DN=DN

，
∴△DMN≌△DGN（SAS），
∴MN=NG，
∴MN=AM+CN，
設(shè)CN=x，則BN=6-x，
∵M(jìn)N=5，
∴AM=5-x，
BM=AB-AM=6-（5-x）=x+1，
在Rt△BMN中，BM²+BN²=MN²，
即（x+1）²+（6-x）²=5²，
整理得，x²-5x+6=0，
解得x₁=2，x₂=3，
所以，CN的長(zhǎng)為2或3．
故答案為：2或3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，正方形的性質(zhì)，作輔助線(xiàn)構(gòu)造出全等三角形并求出MN=AM+CN，然后在Rt△BMN中，利用勾股定理列出方程是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．