Question

（2012•泉港區(qū)質(zhì)檢）如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的一動(dòng)點(diǎn)，DF⊥AE于F，連接DE．
（1）求證：△ABE∽△DFA；
（2）如果AE=BC=10，AB=6，試求出tan∠EDF的值．

Answer 1

分析：（1）由矩形的性質(zhì)和垂直的定義以及相似三角形的判定方法即可證明：△ABE∽△DFA；
（2）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊比值相等以及勾股定理，可以求得DF，EF的長，運(yùn)用三角函數(shù)定義求解．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，AD∥BC，
∴∠DAE=∠AEB，
∵DF⊥AE于F，
∴∠DFA=∠B=90°，
∴△ABE∽△DFA；
（2）解：∵△ABE∽△DFA；
∴

AD

AE

=

AF

BE

，
∵AE=BC=10，AB=6，
∴在Rt△ABE中，BE=

AE2-AB2

=8，
∴

10

10

=

AF

8

，
∴AF=8，
∴DF=6，
∴EF=AE-AF=2，
∴tan∠EDF=

EF

DF

=

2

6

=

1

3

．

點(diǎn)評：本題綜合考查了矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及銳角三角函數(shù)的定義．熟練運(yùn)用矩形的性質(zhì)和判定，能夠找到證明相似三角形的有關(guān)條件；運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)求得三角形中的邊，再根據(jù)銳角三角函數(shù)的概念求解是解題的關(guān)鍵．