Question

已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，它的頂點(diǎn)A在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，頂點(diǎn)D在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)A，D都不與原點(diǎn)重合），頂點(diǎn)B，C都在第一象限，且對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)P，連接OP．
（1）當(dāng)OA=OD時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為

（0，2

2

）

，∠POA=

45

°；
（2）當(dāng)OA＜OD時(shí)，求證：OP平分∠DOA；
（3）設(shè)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d，則在點(diǎn)A，D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，d的取值范圍是什么？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)求出△ADP是等腰直角三角形，再判斷出△AOD是等腰直角三角形，再求出四邊形AODP是正方形，然后根據(jù)正方形的性質(zhì)求出AP=DP=2

2

，寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)即可；
（2）過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，根據(jù)正方形的對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等可得PD=PA，再根據(jù)同角的余角相等求出∠1=∠2，然后利用“角角邊”證明△DPN和△APM全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得PM=PN，然后利用到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線(xiàn)上證明即可；
（3）根據(jù)垂線(xiàn)段最短，A、O重合時(shí)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離最小，為正方形ABCD邊長(zhǎng)的一半，OA=OD時(shí)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離最大，為PD的長(zhǎng)度，即可得解．

解答：（1）解：∵四邊形ABCD為正方形，
∴△ADP是等腰直角三角形，
又∵OA=OD，
∴△AOD是等腰直角三角形，
∴四邊形AODP是正方形，
∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，
∴AC=BD=

42+42

=4

2

，
∴AP=DP=

1

2

×4

2

=2

2

，
∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2

2

），∠POA=45°；

（2）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，
∵四邊形ABCD是正方形，
∴PD=PA，∠DPA=90°，
∵PM⊥x軸于點(diǎn)M，PN⊥y軸于點(diǎn)N，
∴∠PMO=∠PNO=∠PND=90°，
∵∠NOM=90°，
∴四邊形NOMP中，∠NPM=90°，
∴∠DPA=∠NPM，
∵∠1=∠DPA-∠NPA，∠2=∠NPM-∠NPA，
∴∠1=∠2，
∵在△DPN和△APM中，

∠PND=∠PMA ∠1=∠2 PD=PA

，
∴△DPN≌△APM（AAS），
∴PN=PM，
∴OP平分∠DOA；

（3）解：當(dāng)A、O重合時(shí)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離最小，
d=

1

2

×4=2，
當(dāng)OA=OD時(shí)，點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離最大，d=PD=2

2

，
∵點(diǎn)A，D都不與原點(diǎn)重合，
∴2＜d≤2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了正方形的性質(zhì)，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，角平分線(xiàn)的判定，（2）作輔助線(xiàn)構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，（2）根據(jù)垂線(xiàn)段最短判斷出最小與最大值的情況是解題的關(guān)鍵．