Question

如圖，已知拋物線y＝x²－2x＋1的頂點(diǎn)為P，A為拋物線與y軸的交點(diǎn)，過A與y軸垂直的直線與拋物線的另一交點(diǎn)為B，與拋物線對稱軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)B和P的直線l交y軸于點(diǎn)C，連結(jié)C，將△AC沿C翻折后，點(diǎn)A落在點(diǎn)D的位置．

(1)求直線l的函數(shù)解析式；

(2)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得S_△DQC＝S_△DPB？若存在，求出所有符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

(1)配方，得y＝(x－2)2－1，∴拋物線的對稱軸為直線x＝2，頂點(diǎn)為P(2，－1)．(1分) 　　取x＝0代入y＝x2－2x＋1，得y＝1，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(0，1)．由拋物線的對稱性知，點(diǎn)A(0，1)與點(diǎn)B關(guān)于直線x＝2對稱，∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4，1)．(2分) 　　設(shè)直線l的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，將B、P的坐標(biāo)代入，有 　　解得∴直線l的解析式為y＝x－3．(3分) 　　(2)連結(jié)AD交C于點(diǎn)E，∵點(diǎn)D由點(diǎn)A沿C翻折后得到，∴C垂直平分AD． 　　由(1)知，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，－3)，∴在Rt△AC中，A＝2，AC＝4，∴C＝2． 　　據(jù)面積關(guān)系，有×C×AE＝×A×CA，∴AE＝，AD＝2AE＝． 　　作DF⊥AB于F，易證Rt△ADF∽Rt△CA，∴， 　　∴AF＝·AC＝，DF＝·A＝，(5分) 　　又∵OA＝1，∴點(diǎn)D的縱坐標(biāo)為1－＝－，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(，－)．(6分) 　　(3)顯然，P∥AC，且為AB的中點(diǎn)， 　　∴點(diǎn)P是線段BC的中點(diǎn)，∴S△DPC＝S△DPB． 　　故要使S△DQC＝S△DPB，只需S△DQC＝S△DPC．(7分) 　　過P作直線m與CD平行，則直線m上的任意一點(diǎn)與CD構(gòu)成的三角形的面積都等于S△DPC，故m與拋物線的交點(diǎn)即符合條件的Q點(diǎn)． 　　容易求得過點(diǎn)C(0，－3)、D(，－)的直線的解析式為y＝x－3， 　　據(jù)直線m的作法，可以求得直線m的解析式為y＝x－． 　　令x2－2x＋1＝x－，解得x1＝2，x2＝，代入y＝x－，得y1＝－1，y2＝， 　　因此，拋物線上存在兩點(diǎn)Q1(2，－1)(即點(diǎn)P)和Q2(，)，使得S△DQC＝S△DPB．(9分) 　　(僅求出一個符合條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)，扣1分)