Question

如圖，在直角坐標系中有一直角三角形AOB，O為坐標原點，OA=1，tan∠BAO=3，將此三角形繞原點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到△DOC，拋物線y=ax²+bx+c經(jīng)過點A、B、C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點P是第二象限內(nèi)拋物線上的動點，其坐標為t，

①設(shè)拋物線對稱軸l與x軸交于一點E，連接PE，交CD于F，求出當△CEF與△COD相似點P的坐標；

②是否存在一點P，使△PCD得面積最大？若存在，求出△PCD的面積的最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解答：

解：（1）在Rt△AOB中，OA=1，tan∠BAO==3，

∴OB=3OA=3．

∵△DOC是由△AOB繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)90°而得到的，

∴△DOC≌△AOB，

∴OC=OB=3，OD=OA=1，

∴A、B、C的坐標分別為（1，0），（0，3）（﹣3，0）．

代入解析式為

，

解得：．

∴拋物線的解析式為y=﹣x²﹣2x+3；

（2）①∵拋物線的解析式為y=﹣x²﹣2x+3，

∴對稱軸l=﹣=﹣1，

∴E點的坐標為（﹣1，0）．

如圖，當∠CEF=90°時，△CEF∽△COD．此時點P在對稱軸上，即點P為拋物線的頂點，P（﹣1，4）；

當∠CFE=90°時，△CFE∽△COD，過點P作PM⊥x軸于點M，則△EFC∽△EMP．

∴，

∴MP=3EM．

∵P的橫坐標為t，

∴P（t，﹣t²﹣2t+3）．

∵P在二象限，

∴PM=﹣t²﹣2t+3，EM=﹣1﹣t，

∴﹣t²﹣2t+3=3（﹣1﹣t），

解得：t₁=﹣2，t₂=﹣3（與C重合，舍去），

∴t=﹣2時，y=﹣（﹣2）²﹣2×（﹣2）+3=3．

∴P（﹣2，3）．

∴當△CEF與△COD相似時，P點的坐標為：（﹣1，4）或（﹣2，3）；

②設(shè)直線CD的解析式為y=kx+b，由題意，得

，

解得：，

∴直線CD的解析式為：y=x+1．

設(shè)PM與CD的交點為N，則點N的坐標為（t，t+1），

∴NM=t+1．

∴PN=PM﹣NM=t²﹣2t+3﹣（t+1）=﹣t²﹣+2．

∵S_△PCD=S_△PCN+S_△PDN，

∴S_△PCD=PM•CM+PN•OM

=PN（CM+OM）

=PN•OC

=×3（﹣t²﹣+2）

=﹣（t+）²+，

∴當t=﹣時，S_△PCD的最大值為．