Question

⊙O的兩條弦AB，CD相交于點(diǎn)E，
（1）若AB=CD，且AB=8，AE=5，求DE的長；
（2）若AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，且AE=2，CD=8，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析：（1）如圖甲，當(dāng)點(diǎn)C在AB的左側(cè)時，由AB=CD可知

AB

=

CD

，故可得出

AC

=

BD

，∠B=∠C，CE=BE，
故可得出DE的長，當(dāng)點(diǎn)C在AB的右側(cè)時（如圖乙），同理可得DE=BE=AB-AE；
（2）如圖丙，若點(diǎn)A在CD的下方，連結(jié)OC，因?yàn)锳B是⊙O的直徑，AB⊥CD，故可得出CE=

1

2

CD，
設(shè)OC=x，則OE=x-2，在Rt△COE中利用勾股定理可求出x的值；如圖丁，若點(diǎn)A在CD的上方，則AB＜2AE=4，與CD=8產(chǎn)生矛盾（或與上類似地計算得OE為負(fù)數(shù)），由此即可得出結(jié)論．

解答：解：（1）如圖甲，當(dāng)點(diǎn)C在AB的左側(cè)時，
∵AB=CD，
∴

AB

=

CD

，
∴

AC

=

BD

，
∴∠B=∠C，
∴CE=BE，
∴DE=AE=5；
如圖乙，當(dāng)點(diǎn)C在AB的右側(cè)時，同理：DE=BE=AB-AE=3，

（2）如圖丙，若點(diǎn)A在CD的下方，連結(jié)OC，
∵AB是⊙O的直徑，AB⊥CD，
∴CE=

1

2

CD=4，
設(shè)OC=x，則OE=x-2，
∵AB⊥CD，
∴OE²+CE²=OC²，即（x-2）²+4²=x²，
解得：x=5．
如圖丁，若點(diǎn)A在CD的上方，則AB＜2AE=4，與CD=8產(chǎn)生矛盾（或與上類似地計算得OE為負(fù)數(shù)）．
答：⊙O的半徑為5．

點(diǎn)評：本題考查的是垂徑定理及勾股定理，在解答此題時要注意分類討論，不要漏解．