Question

【題目】（滿分10分）如圖，直徑為AB的⊙O交的兩條直角邊BC、CD于點(diǎn)E、F，且，連接BF.

（1）求證CD為⊙O的切線；（2）當(dāng)CF=1且∠D=30°時(shí)，求AD長(zhǎng).

Answer 1

【答案】(1) 證明見(jiàn)解析;(2) .

【解析】試題分析：（1）連接OF，只要證明OF∥BC，即可推出OF⊥CD，由此即可解決問(wèn)題．
（2）連接AF．思想在Rt△BCF中，求出BC，再在Rt△DBC中，求出DB，在Rt△ABF中，求出AB，根據(jù)AD=DB-AB即可解決問(wèn)題．

試題解析：

(1)連接OF.

∵AF=EF ，∴∠CBF=∠FBA.

∵OF=OB，∴∠FBO=∠OFB .

∵點(diǎn)A、O、B三點(diǎn)共線,

∴∠CBF=∠OFB.

∴BC∥OF，∴∠OFC+∠C=180°.

∵∠C=90°，∴∠OFC=90°，即OF⊥DC.

∴CD為⊙O的切線.

(2) ∵∠D=30°，∴∠CBD=60°

∵AF=EF，∴∠CBF=∠DBF=∠CBD=30°

在， ∵FC=1，∠CBF=30°，∴BF=2CF=2.

∴

連接AF.

∵AB是⊙O的直徑，∴∠AFB=90°

在,∵∠ABF=30°，BF=2，∴AF=AB.

∴AB2=(AB)2+BF2，即AB2=4，

在,∵∠D=30°，BC=，∴BD=2BC=.

∴AD=DB-AB=2