【題目】定義:
我們知道,四邊形的一條對角線把這個(gè)四邊形分成了兩個(gè)三角形,如果這兩個(gè)三角形相似(不全等),我們就把這條對角線叫做這個(gè)四邊形的“相似對角線”.
理解:
(1)如圖1,已知Rt△ABC在正方形網(wǎng)格中,請你只用無刻度的直尺在網(wǎng)格中找到一點(diǎn)D,使四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形(保留畫圖痕跡,找出3個(gè)即可);
(2)如圖2,在四邊形ABCD中,∠ABC=80°,∠ADC=140°,對角線BD平分∠ABC.
求證:BD是四邊形ABCD的“相似對角線”;
(3)如圖3,已知FH是四邊形EFCH的“相似對角線”,∠EFH=∠HFG=30°,連接EG,若△EFG的面積為2,求FH的長.
【答案】(1)見解析;(2)證明見解析;(3)FH=2.
【解析】(1)先求出AB,BC,AC,再分情況求出CD或AD,即可畫出圖形;
(2)先判斷出∠A+∠ADB=140°=∠ADC,即可得出結(jié)論;
(3)先判斷出△FEH∽△FHG,得出FH2=FEFG,再判斷出EQ=FE,繼而求出FGFE=8,即可得出結(jié)論.
(1)由圖1知,AB=,BC=2,∠ABC=90°,AC=5,
∵四邊形ABCD是以AC為“相似對角線”的四邊形,
當(dāng)∠ACD=90°時(shí),△ACD∽△ABC或△ACD∽△CBA,
∴或,
∴CD=10或CD=2.5
同理:當(dāng)∠CAD=90°時(shí),AD=2.5或AD=10,
(2)∵∠ABC=80°,BD平分∠ABC,
∴∠ABD=∠DBC=40°,
∴∠A+∠ADB=140°
∵∠ADC=140°,
∴∠BDC+∠ADB=140°,
∴∠A=∠BDC,
∴△ABD∽△BDC,
∴BD是四邊形ABCD的“相似對角線”;
(3)如圖3,
∵FH是四邊形EFGH的“相似對角線”,
∴△EFH與△HFG相似,
∵∠EFH=∠HFG,
∴△FEH∽△FHG,
∴,
∴FH2=FEFG,
過點(diǎn)E作EQ⊥FG于Q,
∴EQ=FEsin60°=FE,
∵FG×EQ=2,
∴FG×FE=2,
∴FGFE=8,
∴FH2=FEFG=8,
∴FH=2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】解不等式組.請結(jié)合題意填空,完成本題的解答
(Ⅰ)解不等式①,得__________;
(Ⅱ)解不等式②,得__________;
(Ⅲ)把不等式①和②的解集在數(shù)軸上表示出來:
(Ⅳ)原不等式組的解集為__________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,直線y=-x+2分別交x軸、y軸于點(diǎn)A、B,拋物線y=﹣x2+bx+c經(jīng)過點(diǎn)A、B.點(diǎn)P是x軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn),過點(diǎn)P作垂直于x軸的直線分別交拋物線和直線AB于點(diǎn)E和點(diǎn)F.設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m.
(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)為 .
(2)求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式.
(3)點(diǎn)P在線段OA上時(shí),若以B、E、F為頂點(diǎn)的三角形與△FPA相似,求m的值.
(4)若E、F、P三個(gè)點(diǎn)中恰有一點(diǎn)是其它兩點(diǎn)所連線段的中點(diǎn)(三點(diǎn)重合除外),稱E、F、P三點(diǎn)為“共諧點(diǎn)”.直接寫出E、F、P三點(diǎn)成為“共諧點(diǎn)”時(shí)m的值.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在△ABC中,AD平分∠BAC,按如下步驟作圖:第一步,分別以點(diǎn)A、D為圓心,以大于的長為半徑在AD的兩側(cè)作弧,交于兩點(diǎn)M、N;第二步,連結(jié)MN,分別交AB、AC于點(diǎn)E、F;第三步,連結(jié)DE、DF..若BD=6,AF=4,CD=3,則BE的長是( )
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,Rt△OCD的一邊OC在x軸上,∠OCD=90°,點(diǎn)D在第一象限,OC=6,DC=4,反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過OD的中點(diǎn)A.
(1)求該反比例函數(shù)的解析式;
(2)若該反比例函數(shù)的圖象與Rt△OCD的另一邊DC交于點(diǎn)B,求過A、B兩點(diǎn)的直線的解析式.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以點(diǎn)A為圓心,AC為半徑,作⊙A,交AB于點(diǎn)D,交CA的延長線于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作AB的平行線交⊙A于點(diǎn)F,連接AF,BF,DF.
(1)求證:△ABC≌△ABF;
(2)填空:
①當(dāng)∠CAB= °時(shí),四邊形ADFE為菱形;
②在①的條件下,BC= cm時(shí),四邊形ADFE的面積是6cm2.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,⊙O是Rt△ABC的外接圓,∠ABC=90°,BD=BA,BE⊥DC交DC的延長線于點(diǎn)E.
(1)若∠BAD=70°,則∠BCA= °;
(2)若AB=12,BC=5,求DE的長:
(3)求證:BE是⊙O的切線.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,在中,,以為直徑的交于點(diǎn),交于點(diǎn),點(diǎn)是的延長線上一點(diǎn),且∠PDB=∠A,連接,.
(1)求證:是的切線.
(2)填空:
①當(dāng)的度數(shù)為______時(shí),四邊形是菱形;
②當(dāng)時(shí),的面積為_________.
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科目:初中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】丁老師為了解所任教的兩個(gè)班的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況,對數(shù)學(xué)進(jìn)行了一次測試,獲得了兩個(gè)班的成績(百分制),并對數(shù)據(jù)(成績)進(jìn)行整理、描述和分析,下面給出了部分信息.
①A、B兩班學(xué)生(兩個(gè)班的人數(shù)相同)數(shù)學(xué)成績不完整的頻數(shù)分布直方圖如下(數(shù)據(jù)分成5組:x<60,60≤x<70,70≤x<80,80≤x<90,90≤x≤100):
②A、B兩班學(xué)生測試成績在80≤x<90這一組的數(shù)據(jù)如下:
A班:80 80 82 83 85 85 86 87 87 87 88 89 89
B班:80 80 81 81 82 82 83 84 84 85 85 86 86 86 87 87 87 87 87 88 88 89
③A、B兩班學(xué)生測試成績的平均數(shù)、中位數(shù)、方差如下:
平均數(shù) | 中位數(shù) | 方差 | |
A班 | 80.6 | m | 96.9 |
B班 | 80.8 | n | 153.3 |
根據(jù)以上信息,回答下列問題:
(1)補(bǔ)全數(shù)學(xué)成績頻數(shù)分布直方圖;
(2)寫出表中m、n的值;
(3)請你對比分析A、B兩班學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況(至少從兩個(gè)不同的角度分析).
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