Question

如圖，拋物線y=ax²+bx+c與y軸正半軸交于點(diǎn)C，與x軸交于點(diǎn)A（1，0）、B（4，0），∠OCA=∠OBC．
（1）拋物線的解析式為______；
（2）是否存在這樣的點(diǎn)M，使得以點(diǎn)M、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為______；若不存在，則理由為：______；
（3）若⊙P過點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)，求圓心P的坐標(biāo)．

Answer 1

解：（1））∵∠AOC=∠COB，∠OCA=∠OBC，
∴△AOC∽△COB，
∴OC²=AO•BO=1×4=4，
∴OC=2，
∴C（0，2），
由題意，設(shè)拋物線解析式y(tǒng)=a（x-1）（x-4），
∴a（0-1）（0-4）=0，
∴a=，
∴拋物線的解析式為：y=x²-x+2；

（2）①當(dāng)如圖1時(shí)，
∵C（0，2），A（1，0），B（4，0），
∴AB=3，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴P（3，2）；
②當(dāng)如圖2所示時(shí)，同①可知，P（-3，2）；
③當(dāng)如圖3所示時(shí)，過點(diǎn)P作PD⊥x軸，
∵四邊形ACBP是平行四邊形，
∴BD=OA=1，PD=OC=2，
∴OD=4+1=5，
∴P（5，-2）；
綜上所述，點(diǎn)M坐標(biāo)為（3，2）、（-3，2）、（5，-2）；

（3）∵A（1，0），B（4，0），
∴AB中點(diǎn)坐標(biāo)為（，0），
∵⊙P經(jīng)過點(diǎn)A、B，
∴P在線段AB的中垂線上，可設(shè)P（，y），
又∵⊙P經(jīng)過點(diǎn)C，
∴PC=PA，
∴（-0）²+（y-2）²=（-1）²+（y-0）²，解得y=2，
∴圓心P的坐標(biāo)為（，2）．
故答案為：（1）：y=x²-x+2；
（2）（3，2）、（-3，2）、（5，-2）；存在．
分析：（1）要求拋物線的解析式，由題意知只需要求出點(diǎn)C的坐標(biāo)即可，而點(diǎn)C的坐標(biāo)可以根據(jù)△AOC∽△COB求得；
（2）根據(jù)題意畫出圖形，由平行四邊形的性質(zhì)兩組對(duì)邊分別平行且相等來確定點(diǎn)M的坐標(biāo)；
（3）根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知⊙P的圓心在對(duì)稱軸上，再根據(jù)三角形外接圓的圓心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等得知PC=PA，根據(jù)兩點(diǎn)間的距離公式可以求出點(diǎn)P的坐標(biāo)．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的是二次函數(shù)綜合題，要求學(xué)生能根據(jù)已知三點(diǎn)坐標(biāo)求二次函數(shù)的解析式，把平行四邊形的性質(zhì)和平面直角坐標(biāo)系點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合起來，在求⊙P的坐標(biāo)時(shí)運(yùn)用了拋物線的性質(zhì)，是一道綜合性較強(qiáng)的題目．