Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=8cm，AB=6cm，BC=10cm，點(diǎn)Q從點(diǎn)A出發(fā)以1cm/s的速度向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)以2cm/s的速度在線段BC間往返運(yùn)動(dòng)，P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)D時(shí)，兩點(diǎn)同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．
（1）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PCDQ的面積為36cm²？
（2）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PCDQ為平行四邊形？
（3）當(dāng)t為何值時(shí)，四邊形PCDQ是等腰梯形？
（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△DPQ是等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)AD、BC的值和點(diǎn)Q的速度是1cm/s，點(diǎn)P的速度是2cm/s，求出QD、CP的值，再根據(jù)梯形的面積公式代入計(jì)算即可；
（2）分兩種情況討論：P未到達(dá)C點(diǎn)時(shí)和P到達(dá)C點(diǎn)并返回時(shí)，分別列出方程，8-t=10-2t，8-t=2t-10，再解方程即可；
（3）根據(jù)四邊形為等腰梯形，則只有點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C，再返回后才能構(gòu)成等腰梯形，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，QE⊥BC，求出PE、EF=8-t，列出方程2t-10=4+（8-t），再解方程即可；
（4）①若PQ=PD，過(guò)P作PE⊥AD于E，則QD=8-t，QE=

1

2

QD=

1

2

（8-t），根據(jù)AE=BP，得出

1

2

（8+t）=2t，若點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C，再返回后，PQ=PD，得出t+

8-t

2

=10-（2t-10）；②若QD=QP，過(guò)Q作QF⊥BC于F，則QF=6，F(xiàn)P=2t-t=t，根據(jù)勾股定理得6²+t²=（8-t）²，若QD=PD，過(guò)D作DE⊥BC于E，得出QD=8-t，PE=8-2t，根據(jù)勾股定理得：6²+（8-2t）²=（8-t）²，再分別解方程即可．

解答：解：（1）∵AD=8cm，BC=10cm，點(diǎn)Q的速度是1cm/s，點(diǎn)P的速度是2cm/s，
∴QD=AD-AQ=8-t，
CP=BC-AP=10-2t，
∴當(dāng)點(diǎn)P未到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，四邊形PCDQ的面積=

1

2

（8-t+10-2t）×6=36，
解得t=2；
當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C返回時(shí)，四邊形PCDQ的面積=

1

2

（8-t+2t-10）×6=36，
解得t=14秒（不符合題意，舍去）；
所以，t=2s時(shí)，四邊形PCDQ的面積為36cm²；

（2）①P未到達(dá)C點(diǎn)時(shí)，
∵四邊形PCDQ是平行四邊形，
∴8-t=10-2t，
解得t=2；
②P到達(dá)C點(diǎn)并返回時(shí)，
∵四邊形PCDQ是平行四邊形，
∴8-t=2t-10，
解得t=6，
答：t為2或6時(shí)，四邊形PCDQ為平行四邊形；
（3）若四邊形為等腰梯形，則只有點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C，再返回后才能構(gòu)成等腰梯形，
過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC，QE⊥BC，
則PE=CF=10-8=2cm，EF=DQ=8-t，
2t-10=4+（8-t），解得：t=

22

3

．

（4）①如圖，若PQ=PD，過(guò)P作PE⊥AD于E，
則QD=8-t，QE=

1

2

QD=

1

2

（8-t），
AE=AQ+QE=t+

1

2

（8-t）=

1

2

（8+t），
∵AE=BP，
∴

1

2

（8+t）=2t，
解得t=

8

3

；
若點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C，再返回后，PQ=PD，
則t+

8-t

2

=10-（2t-10），
解得：t=

32

5

；
②如圖，若QD=QP，過(guò)Q作QF⊥BC于F，
則QF=6，F(xiàn)P=2t-t=t，
在Rt△QPF中，由勾股定理得：
QF²+FP²=QP²，
即6²+t²=（8-t）²，
解得t=

7

4

，
若QD=PD，過(guò)D作DE⊥BC于E，
則QD=8-t，PE=8-2t，
在Rt△DPE中，由勾股定理得：6²+（8-2t）²=（8-t）²，
此方程無(wú)解；
綜上所述，當(dāng)t=

8

3

或

32

5

或

7

4

時(shí)，△DPQ是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，用到的知識(shí)點(diǎn)是等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的對(duì)邊相等的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，作輔助線利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)以及勾股定理是解題的關(guān)鍵．