Question

已知反比例函數(shù)y=

k

2x

和一次函數(shù)y=2x-1，其中一次函數(shù)的圖象經(jīng)過（a，b），（a+k，b+k+2）兩點(diǎn)．
（1）求反比例函數(shù)的解析式？
（2）已知A在第一象限，是兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)，求A點(diǎn)坐標(biāo)？
（3）利用②的結(jié)果，請(qǐng)問：在x軸上是否存在點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形？

Answer 1

分析：（1）把（a，b），（a+k，b+k+2）代入一次函數(shù)的解析式，得出方程組，求出k即可；
（2）解由反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式組成發(fā)的方程組，求出方程組的解即可；
（3）根據(jù)等腰三角形的判定，有三種情況：①當(dāng)OA=OP時(shí)，有2個(gè)點(diǎn)符合；②當(dāng)OA=AP時(shí)，有1個(gè)點(diǎn)符合；③當(dāng)AP=OP時(shí)，有1個(gè)點(diǎn)符合．

解答：解：（1）∵一次函數(shù)y=2x-1的圖象經(jīng)過（a，b），（a+k，b+k+2）兩點(diǎn)，
代入得：

b=2a-1 b+k+2=2(a+k)-1

，
解得：k=2，
代入反比例函數(shù)的解析式得：y=

2

2x

=

1

x

，
∴反比例函數(shù)的解析式是y=

1

x

．

（2）解方程組

y= 1 x y=2x-1

得：

x1=- 1 2 y1=-2

，

x2=1 y2=1

，
∴兩函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)是（-

1

2

，-2），（1，1），
∵交點(diǎn)A在第一象限，
∴A（1，1）．

（3）在x軸上存在點(diǎn)P，使△AOP為等腰三角形，
理由是：分為三種情況：①以O(shè)為圓心，以O(shè)A為半徑作圓，交x軸于兩點(diǎn)C、D，此時(shí)OA=0C=0D，
∴當(dāng)P于C或D重合時(shí)，△AOP是等腰三角形，此時(shí)P的坐標(biāo)是（

2

，0），（-

2

，0）；
②以A為圓心，以O(shè)A為半徑作圓，交x軸于兩點(diǎn)E，此時(shí)OA=AE，
∴當(dāng)P于E重合時(shí)，△AOP是等腰三角形，此時(shí)P的坐標(biāo)是（2，0）；
③作OA的垂直平分線交x軸于F，此時(shí)AF=OF，
∴當(dāng)P于F重合時(shí)，△AOP是等腰三角形，此時(shí)P的坐標(biāo)是（1，0）；
∴存在4個(gè)點(diǎn)P，使△AOP是等腰三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點(diǎn)問題，等腰三角形的判定等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，主要考查學(xué)生綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算的能力，用的數(shù)學(xué)思想是分類討論思想，題目比較好，有一定的難度．